ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.50 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \frac{x^2 + 5x + 2}{x + 2} \).
3.1. Функция \( f \) чётная. Может ли выполняться равенство:
1) \( f(-1) = 0 \);
2) \( f(2) — f(-2) = 1 \);
3) \( f(5) / f(-5) = -2 \);
4) \( f(1) = -1 \)?

1) \( f(-1) = 0 \): может выполняться, так как для чётной функции \( f(-x) = f(x) \), и значение \( f(-1) = 0 \) возможно, если \( f(1) = 0 \), что зависит от конкретной функции.

2) \( f(2) — f(-2) = 1 \): не может выполняться, так как для чётной функции \( f(2) = f(-2) \), и разность всегда равна 0, а не 1.

3) \( \frac{f(5)}{f(-5)} = -2 \): не может выполняться, так как для чётной функции \( f(5) = f(-5) \), и отношение равно 1, а не -2 (при \( f(5) \neq 0 \)).

4) \( f(1) = -1 \): может выполняться, так как для чётной функции \( f(-1) = f(1) \), и значение \( f(1) = -1 \) возможно при соответствующем определении функции.

1) Рассмотрим условие \( f(-1) = 0 \). Для чётной функции по определению выполняется равенство \( f(-x) = f(x) \) для всех \( x \) из области определения. Это означает, что если \( f(-1) = 0 \), то и \( f(1) \) также должно быть равно 0. Однако само по себе это условие не противоречит свойству чётности, так как функция может быть определена таким образом, что \( f(1) = f(-1) = 0 \). Например, функция \( f(x) = x^2 — 1 \) является чётной, но \( f(1) = 0 \) и \( f(-1) = 0 \) не выполняются. Таким образом, выполнение условия зависит от конкретного вида функции, и в общем случае оно не гарантировано, но возможно при определённых значениях.

2) Рассмотрим условие \( f(2) — f(-2) = 1 \). Для чётной функции \( f(-x) = f(x) \), следовательно, \( f(2) = f(-2) \). Подставляя это в выражение, получаем \( f(2) — f(-2) = f(2) — f(2) = 0 \). Однако по условию требуется, чтобы разность была равна 1, что противоречит свойству чётности. Таким образом, это равенство не может выполняться для чётной функции ни при каких обстоятельствах.

3) Рассмотрим условие \( \frac{f(5)}{f(-5)} = -2 \). Снова обратимся к свойству чётной функции \( f(-x) = f(x) \), из которого следует, что \( f(5) = f(-5) \). Тогда отношение \( \frac{f(5)}{f(-5)} = \frac{f(5)}{f(5)} = 1 \) (при условии, что \( f(5) \neq 0 \)). По условию же требуется, чтобы отношение равнялось -2, что противоречит свойству чётности. Следовательно, это равенство не может выполняться для чётной функции.

4) Рассмотрим условие \( f(1) = -1 \). Для чётной функции должно выполняться \( f(-1) = f(1) \). Если \( f(1) = -1 \), то и \( f(-1) = -1 \). Это условие не противоречит свойству чётности, так как функция может быть определена таким образом, чтобы значения в симметричных точках совпадали. Например, функция \( f(x) = -1 \) для всех \( x \) является чётной и удовлетворяет этому условию. Таким образом, это равенство может выполняться для чётной функции.