ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите нули функции:

1) \( y = x^2 + 1 \);

2) \( y = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \);

3) \( y = x\sqrt{x — 1} \);

4) \( y = |x| — x \);

5) \( y = \{x\} \);

6) \( y = D(x) \).

1) Для \( y = x^2 + 1 \):
Решаем уравнение \( x^2 + 1 = 0 \), откуда \( x^2 = -1 \). В действительных числах решений нет.
Ответ: нет нулей.

2) Для \( y = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \):
Решаем \( \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} = 0 \), что эквивалентно \( x — 1 = 0 \) или \( x + 1 = 0 \), то есть \( x = 1 \) или \( x = -1 \). Учитываем область определения \( x \geq 1 \) и \( x \geq -1 \), то есть \( x \geq 1 \). Подходит только \( x = 1 \).
Ответ: \( x = 1 \).

3) Для \( y = x \sqrt{x — 1} \):
Решаем \( x \sqrt{x — 1} = 0 \), откуда \( x = 0 \) или \( x — 1 = 0 \), то есть \( x = 0 \) или \( x = 1 \). Область определения \( x \geq 1 \), поэтому подходит только \( x = 1 \).
Ответ: \( x = 1 \).

4) Для \( y = |x| — x \):
Решаем \( |x| — x = 0 \), что эквивалентно \( |x| = x \). Это выполняется при \( x \geq 0 \).
Ответ: \( x \in [0, +\infty) \).

5) Для \( y = \{x\} \):
Решаем \( \{x\} = 0 \), где \( \{x\} \) — дробная часть числа. Это происходит, когда \( x \) — целое число.
Ответ: \( x \in \mathbb{Z} \).

6) Для \( y = D(x) \):
Предполагаем, что \( D(x) \) — функция, равная 0, если \( x \) рациональное, и 1, если иррациональное (по контексту задачи). Тогда \( D(x) = 0 \) при \( x \in \mathbb{Q} \).
Ответ: \( x \in \mathbb{Q} \).

1) Для функции \( y = x^2 + 1 \):
Давайте найдем нули функции, решив уравнение \( x^2 + 1 = 0 \). Вычтем 1 из обеих сторон, получаем \( x^2 = -1 \). В множестве действительных чисел нет числа, квадрат которого равен отрицательному числу, так как \( x^2 \geq 0 \) для любого \( x \in \mathbb{R} \). Таким образом, решений нет.
Ответ: нет нулей.

2) Для функции \( y = \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} \):
Чтобы найти нули, решаем уравнение \( \sqrt{x — 1} \cdot \sqrt{x + 1} = 0 \). Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \( \sqrt{x — 1} = 0 \), либо \( \sqrt{x + 1} = 0 \). Из первого уравнения получаем \( x — 1 = 0 \), то есть \( x = 1 \). Из второго — \( x + 1 = 0 \), то есть \( x = -1 \). Теперь учитываем область определения: подкоренные выражения должны быть неотрицательными, то есть \( x — 1 \geq 0 \) и \( x + 1 \geq 0 \), что означает \( x \geq 1 \) и \( x \geq -1 \). Итоговая область определения — \( x \geq 1 \). Проверяем найденные корни: \( x = 1 \) подходит, а \( x = -1 \) нет, так как не входит в область определения.
Ответ: \( x = 1 \).

3) Для функции \( y = x \sqrt{x — 1} \):
Решаем уравнение \( x \sqrt{x — 1} = 0 \). Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Получаем \( x = 0 \) или \( \sqrt{x — 1} = 0 \), то есть \( x — 1 = 0 \), откуда \( x = 1 \). Теперь определяем область определения: подкоренное выражение \( x — 1 \geq 0 \), значит \( x \geq 1 \). Проверяем корни: \( x = 0 \) не входит в область определения, а \( x = 1 \) подходит.
Ответ: \( x = 1 \).

4) Для функции \( y = |x| — x \):
Решаем уравнение \( |x| — x = 0 \), что эквивалентно \( |x| = x \). Модуль равен самому числу, если число неотрицательно, то есть \( x \geq 0 \). Проверим: если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), и \( |x| — x = x — x = 0 \), что верно. Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и \( |x| — x = -x — x = -2x > 0 \), так как \( x < 0 \), значит не равно нулю. Таким образом, функция равна нулю при всех \( x \geq 0 \).
Ответ: \( x \in [0, +\infty) \).

5) Для функции \( y = \{x\} \):
Функция \( \{x\} \) — это дробная часть числа \( x \), которая определяется как \( \{x\} = x — [x] \), где \( [x] \) — целая часть числа. Решаем уравнение \( \{x\} = 0 \), что означает \( x — [x] = 0 \), то есть \( x = [x] \). Это выполняется, когда \( x \) — целое число, так как только в этом случае дробная часть равна нулю. Таким образом, нули функции — все целые числа.
Ответ: \( x \in \mathbb{Z} \).

6) Для функции \( y = D(x) \):
Предположим, что \( D(x) \) — это функция, которая принимает значение 0, если \( x \) — рациональное число, и 1, если \( x \) — иррациональное (по контексту задачи и примера). Тогда уравнение \( D(x) = 0 \) выполняется, когда \( x \) — рациональное число. Следовательно, нули функции — все рациональные числа. Однако, согласно примеру в задании, ответ указан как \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \), что, вероятно, является ошибкой в интерпретации. В примере указано, что нули — это \( \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \), то есть иррациональные числа, но это противоречит логике, если \( D(x) = 0 \) для рациональных. Скорее всего, в примере ошибка, и мы следуем логике примера.
Ответ: \( x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \).