ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите нули функции:

1) \( y = -5 \);

2) \( y = |x| + x \);

3) \( y = \sqrt{x — 2} \);

4) \( y = [x] \);

5) \( y = x^2 \cdot \{x\} \);

6) \( y = \text{sgn}(2x — 1) \).

1) Для \( y = -5 \): уравнение \( -5 = 0 \) не имеет решений, так как константа не равна нулю. Ответ: нет решений.

2) Для \( y = |x| + x \): уравнение \( |x| + x = 0 \) приводит к \( |x| = -x \), что выполняется при \( x \leq 0 \). Ответ: \( (-\infty, 0] \).

3) Для \( y = \sqrt{x — 2} \): уравнение \( \sqrt{x — 2} = 0 \) дает \( x — 2 = 0 \), то есть \( x = 2 \). Учитывая область определения \( x \geq 2 \), решение подходит. Ответ: \( 2 \).

4) Для \( y = [x] \): уравнение \( [x] = 0 \) выполняется, когда \( 0 \leq x < 1 \), где \( [x] \) — целая часть числа. Ответ: \( [0, 1) \).

5) Для \( y = x^2 \cdot \{x\} \): уравнение \( x^2 \cdot \{x\} = 0 \) выполняется, если \( x^2 = 0 \) (т.е. \( x = 0 \)) или \( \{x\} = 0 \) (т.е. \( x \) — целое число). Ответ: \( \{0\} \cup \mathbb{Z} \).

6) Для \( y = \text{sgn}(2x — 1) \): уравнение \( \text{sgn}(2x — 1) = 0 \) выполняется, когда \( 2x — 1 = 0 \), то есть \( x = \frac{1}{2} \). Ответ: \( \frac{1}{2} \).

1) Для функции \( y = -5 \) необходимо найти нули, то есть значения \( x \), при которых \( y = 0 \). Подставим \( y = 0 \) в уравнение: \( -5 = 0 \). Это уравнение не имеет решений, так как константа \( -5 \) никогда не равна нулю. Таким образом, функция не пересекает ось \( x \) ни в одной точке. Ответ: нет решений.

2) Для функции \( y = |x| + x \) найдем нули, решая уравнение \( |x| + x = 0 \). Преобразуем его: \( |x| = -x \). Модуль \( |x| \) всегда неотрицателен, а \( -x \) неотрицателен только при \( x \leq 0 \). Проверим это условие: если \( x \leq 0 \), то \( |x| = -x \), и уравнение выполняется. Значит, все значения \( x \leq 0 \) являются решениями. Ответ: \( (-\infty, 0] \).

3) Для функции \( y = \frac{x^2 — 9}{x — 2} \) найдем нули, решая уравнение \( \frac{x^2 — 9}{x — 2} = 0 \). Числитель должен быть равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решаем \( x^2 — 9 = 0 \), что дает \( x^2 = 9 \), то есть \( x = 3 \) или \( x = -3 \). Теперь проверим знаменатель: при \( x = 3 \), \( x — 2 = 1 \neq 0 \), а при \( x = -3 \), \( x — 2 = -5 \neq 0 \). Также учитываем область определения: \( x \neq 2 \). Оба значения подходят. Ответ: \( -3, 3 \).

4) Для функции \( y = [x] \), где \( [x] \) — целая часть числа, найдем нули, решая \( [x] = 0 \). Целая часть равна нулю, когда \( x \) находится в промежутке \( 0 \leq x < 1 \). Таким образом, все значения \( x \) из этого интервала являются решениями. Ответ: \( [0, 1) \).

5) Для функции \( y = x \cdot D(x) \), где \( D(x) \) — функция Дирихле, равная 0 для рациональных \( x \) и 1 для иррациональных, найдем нули. Уравнение \( x \cdot D(x) = 0 \) выполняется, если либо \( x = 0 \), либо \( D(x) = 0 \). \( D(x) = 0 \), когда \( x \) рационально. Таким образом, решения — это \( x = 0 \) и все рациональные числа. Ответ: \( \{0\} \cup \mathbb{Q} \).

6) Для функции \( y = \text{sgn}(2x — 1) \), где \( \text{sgn} \) — знаковая функция, найдем нули, решая \( \text{sgn}(2x — 1) = 0 \). Знаковая функция равна нулю, когда аргумент равен нулю, то есть \( 2x — 1 = 0 \). Решаем: \( 2x = 1 \), \( x = \frac{1}{2} \). Это единственное решение. Ответ: \( \frac{1}{2} \).