ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) \( y = x^2 — 2x + 1 \);

2) \( y = 3x — 7 \);

3) \( y = \sqrt{x — 1} \);

4) \( y = |x + 1| \);

5) \( y = x(x — 1)^2 \);

6) \( y = \{x\} \).

1) Для функции \( y = x^2 — 2x + 1 \), которая равна \( y = (x — 1)^2 \), нули функции: \( x = 1 \). Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). Функция всегда неотрицательна, так как это квадрат. Промежутки знакопостоянства: положительна на \( (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \), равна нулю в \( x = 1 \).

2) Функция: \(y=\frac{9}{3-x}\).

Нули функции: \(\frac{9}{3-x}=0\) невозможно, так как числитель \(9\neq 0\). Множество нулей: \(\emptyset\).

Область определения: знаменатель не равен нулю, \(3-x\neq 0\Rightarrow x\neq 3\). Следовательно, \(D=\;(-\infty;3)\cup(3;+\infty)\).

3) Для функции \( y = \sqrt{x — 1} \), нули функции: \( x = 1 \). Область определения: \( x \geq 1 \). Функция всегда неотрицательна на своей области определения. Промежутки знакопостоянства: положительна на \( (1; +\infty) \), равна нулю в \( x = 1 \).

4) Для функции \( y = |x + 1| \), нули функции: \( x = -1 \). Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). Функция всегда неотрицательна. Промежутки знакопостоянства: положительна на \( (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty) \), равна нулю в \( x = -1 \).

5) Для функции \( y = x(x — 1)^2 \), нули функции: \( x = 0 \), \( x = 1 \). Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). Анализируем знак: на \( (-\infty; 0) \) отрицательна, на \( (0; 1) \) положительна, на \( (1; +\infty) \) положительна. Промежутки знакопостоянства: отрицательна на \( (-\infty; 0) \), положительна на \( (0; 1) \cup (1; +\infty) \).

6) Для функции \( y = \{x\} \), дробная часть числа, значения лежат в \( [0; 1) \). Нули функции: \( x \in \mathbb{Z} \). Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). Промежутки знакопостоянства: положительна на \( (k; k+1) \) для \( k \in \mathbb{Z} \), равна нулю в целых точках \( x = k \).

1) Рассмотрим функцию \( y = x^2 — 2x + 1 \). Преобразуем выражение: \( y = x^2 — 2x + 1 = (x — 1)^2 \). Это парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \( x = 1 \). Чтобы найти нули функции, решаем уравнение \( (x — 1)^2 = 0 \), откуда \( x = 1 \). Область определения функции — все действительные числа, то есть \( x \in \mathbb{R} \). Поскольку \( (x — 1)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), функция принимает неотрицательные значения, равна нулю только в точке \( x = 1 \). Таким образом, промежутки знакопостоянства: функция положительна на \( (-\infty; 1) \cup (1; +\infty) \), а в точке \( x = 1 \) равна нулю.

2) Функция задана выражением \(y=\frac{9}{3-x}\). Это дробно-рациональная функция, где числитель постоянен и равен \(9\), а знаменатель зависит от переменной \(x\). Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение \(y=0\), то есть \(\frac{9}{3-x}=0\). Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. В нашем случае числитель \(9\) является ненулевой константой, следовательно, условие нулевого значения функции невыполнимо ни при каком \(x\). Отсюда множество нулей функции: \(\emptyset\).

Область определения функции определяется требованием корректности выражения \(\frac{9}{3-x}\), то есть знаменатель не должен обращаться в ноль. Записываем условие \(3-x\neq 0\), откуда получаем \(x\neq 3\). Все остальные значения \(x\) допустимы, поэтому область определения состоит из двух промежутков на числовой прямой, разрываемых в точке \(x=3\). В интервальной записи это \(D=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)\). Таким образом, функция определена для всех действительных \(x\), кроме \(x=3\), где возникает вертикальная асимптота, так как знаменатель обращается в ноль, а значение функции устремляется к бесконечности по модулю.

Дополнительно отметим поведение функции: знак выражения \(y=\frac{9}{3-x}\) зависит от знака знаменателя \(3-x\). При \(x<3\) знаменатель положителен, и \(y>0\); при \(x>3\) знаменатель отрицателен, и \(y<0\). Также видно, что горизонтальная асимптота отсутствует в виде постоянного значения, но при \(|x|\to\infty\) значение \(y\) стремится к нулю, поскольку модуль знаменателя растёт без ограничений, а числитель остаётся фиксированным. Итог: нулей нет \(\emptyset\), область определения \(D=(-\infty;3)\cup(3;+\infty)\).

3) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{x — 1} \). Это корневая функция, определенная только для \( x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \). Область определения: \( x \geq 1 \). Чтобы найти нули функции, решаем уравнение \( \sqrt{x — 1} = 0 \), откуда \( x — 1 = 0 \), то есть \( x = 1 \). Поскольку корень всегда неотрицателен, функция принимает значения \( y \geq 0 \). Таким образом, промежутки знакопостоянства: положительна на \( (1; +\infty) \), равна нулю в точке \( x = 1 \).

4) Рассмотрим функцию \( y = |x + 1| \). Это модуль, который всегда возвращает неотрицательное значение. Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). Чтобы найти нули функции, решаем уравнение \( |x + 1| = 0 \), откуда \( x + 1 = 0 \), то есть \( x = -1 \). Функция равна нулю только в этой точке, а в остальных точках принимает положительные значения. Таким образом, промежутки знакопостоянства: положительна на \( (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty) \), равна нулю в точке \( x = -1 \).

5) Рассмотрим функцию \( y = x(x — 1)^2 \). Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). Чтобы найти нули функции, решаем уравнение \( x(x — 1)^2 = 0 \), откуда \( x = 0 \) или \( x — 1 = 0 \), то есть \( x = 1 \). Таким образом, нули функции в точках \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Теперь определим знаки функции на промежутках. Для \( x < 0 \), например \( x = -1 \), \( y = (-1)(-1 — 1)^2 = (-1)(4) = -4 < 0 \). Для \( 0 < x < 1 \), например \( x = 0.5 \), \( y = (0.5)(0.5 — 1)^2 = (0.5)(0.25) = 0.125 > 0 \). Для \( x > 1 \), например \( x = 2 \), \( y = (2)(2 — 1)^2 = (2)(1) = 2 > 0 \). Таким образом, промежутки знакопостоянства: отрицательна на \( (-\infty; 0) \), положительна на \( (0; 1) \cup (1; +\infty) \).

6) Рассмотрим функцию \( y = \{x\} \), где \( \{x\} \) — дробная часть числа \( x \), которая всегда удовлетворяет \( 0 \leq \{x\} < 1 \). Область определения: \( x \in \mathbb{R} \). Нули функции достигаются, когда \( \{x\} = 0 \), то есть когда \( x \) — целое число, \( x \in \mathbb{Z} \). На каждом промежутке \( (k; k+1) \), где \( k \in \mathbb{Z} \), функция принимает значения от 0 до 1, не включая 1, то есть положительна. Таким образом, промежутки знакопостоянства: положительна на \( (k; k+1) \) для \( k \in \mathbb{Z} \), равна нулю в точках \( x = k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).