ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 2.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите промежутки знакопостоянства функции:

1) \( y = x^2 + 4x + 4 \);

2) \( y = \sqrt{x + 2} \);

3) \( y = |x| — 1 \);

4) \( y = |x^2 — 4| \);

5) \( y = \sqrt{(x — 1)(x — 3)^2} \);

6) \( y = [x] \).

1) Для \( y = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \): нули функции \( x = -2 \); область определения \( x \in \mathbb{R} \); функция неотрицательна всюду, кроме точки \( x = -2 \), где \( y = 0 \). Ответ: \( y \geq 0 \) на \( (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty) \).

2) Для \( y = \sqrt{x + 2} \): нули функции отсутствуют, так как \( \sqrt{x + 2} = 0 \) при \( x = -2 \), но \( x = -2 \) не входит в область определения \( x \geq -2 \); функция положительна при \( x > -2 \). Ответ: \( y > 0 \) на \( (-2, +\infty) \).

3) Для \( y = |x| — 1 \): нули функции \( x = \pm 1 \); область определения \( x \in \mathbb{R} \); функция отрицательна на \( (-1, 1) \), положительна на \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \). Ответ: \( y < 0 \) на \( (-1, 1) \); \( y > 0 \) на \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \).

4) Для \( y = |x^2 — 4| \): нули функции \( x = \pm 2 \); область определения \( x \in \mathbb{R} \); функция положительна на \( (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty) \), но в точках \( x = \pm 2 \) равно нулю. Ответ: \( y > 0 \) на \( (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty) \).

5) Для \( y = \sqrt{(x — 1)(x — 3)^2} \): нули функции \( x = 1, x = 3 \); область определения \( (x — 1)(x — 3)^2 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \); функция положительна на \( (1, 3) \cup (3, +\infty) \). Ответ: \( y > 0 \) на \( (1, 3) \cup (3, +\infty) \).

6) Для \( y = [x] \): нули функции на отрезке \( [0, 1) \); область определения \( x \in \mathbb{R} \); функция отрицательна на \( (-\infty, 0) \), неотрицательна на \( [0, +\infty) \). Ответ: \( y < 0 \) на \( (-\infty, 0) \); \( y \geq 0 \) на \( [0, +\infty) \).

1) Рассмотрим функцию \( y = x^2 + 4x + 4 \). Для начала преобразуем выражение: \( y = x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 \). Это квадрат бинома, который всегда неотрицателен. Найдем нули функции, решив уравнение \( (x + 2)^2 = 0 \). Получаем \( x + 2 = 0 \), то есть \( x = -2 \). В этой точке функция принимает значение \( y = 0 \).

Область определения функции — все действительные числа, то есть \( x \in \mathbb{R} \). Поскольку \( (x + 2)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), функция положительна на всем множестве действительных чисел, кроме точки \( x = -2 \), где она равна нулю. Таким образом, промежутки знакопостоянства: \( y > 0 \) на \( (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty) \). Ответ: \( (-\infty, -2); (-2, +\infty) \).

2) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{x + 2} \). Сначала определим область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( x + 2 \geq 0 \), откуда \( x \geq -2 \). Таким образом, область определения: \( x \in [-2, +\infty) \).

Теперь найдем нули функции, решив уравнение \( \sqrt{x + 2} = 0 \). Это эквивалентно \( x + 2 = 0 \), то есть \( x = -2 \). Однако, поскольку корень неотрицателен, в точке \( x = -2 \) функция равна нулю только формально, но при \( x > -2 \) она строго положительна. Промежутки знакопостоянства: \( y > 0 \) на \( (-2, +\infty) \). Ответ: \( [-2, +\infty) \).

3) Рассмотрим функцию \( y = |x| — 1 \). Область определения функции — все действительные числа, так как модуль определен для любого \( x \), то есть \( x \in \mathbb{R} \). Найдем нули функции, решив уравнение \( |x| — 1 = 0 \), откуда \( |x| = 1 \), то есть \( x = 1 \) или \( x = -1 \).

Проанализируем знак функции на промежутках, определяемых точками \( x = -1 \) и \( x = 1 \). На интервале \( (-\infty, -1) \) для \( x < -1 \) имеем \( |x| = -x \), так что \( y = -x — 1 > 0 \). На интервале \( (-1, 1) \) для \( -1 < x < 1 \) имеем \( |x| = x \), но \( x < 1 \), так что \( y = x — 1 < 0 \). На интервале \( (1, +\infty) \) для \( x > 1 \) имеем \( y = x — 1 > 0 \). Промежутки знакопостоянства: \( y < 0 \) на \( (-1, 1) \), \( y > 0 \) на \( (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) \). Ответ: \( (-\infty, -1); (-1, 1); (1, +\infty) \).

4) Рассмотрим функцию \( y = |x^2 — 4| \). Область определения — все действительные числа, так как выражение под модулем определено для любого \( x \), то есть \( x \in \mathbb{R} \). Найдем нули функции, решив уравнение \( |x^2 — 4| = 0 \), что эквивалентно \( x^2 — 4 = 0 \), откуда \( x^2 = 4 \), то есть \( x = 2 \) или \( x = -2 \).

Проанализируем знак функции. Выражение \( x^2 — 4 \) равно нулю в точках \( x = \pm 2 \), отрицательно на интервале \( (-2, 2) \) и положительно на \( (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \). Поскольку стоит модуль, то \( y = |x^2 — 4| \geq 0 \) для всех \( x \), и \( y > 0 \) на всех промежутках, кроме точек \( x = \pm 2 \), где \( y = 0 \). Промежутки знакопостоянства: \( y > 0 \) на \( (-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, +\infty) \). Ответ: \( (-\infty, -2); (-2, 2); (2, +\infty) \).

5) Рассмотрим функцию \( y = \sqrt{(x — 1)(x — 3)^2} \). Сначала определим область определения: выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть \( (x — 1)(x — 3)^2 \geq 0 \). Поскольку \( (x — 3)^2 \geq 0 \) для всех \( x \), а равно нулю только при \( x = 3 \), знак выражения определяется множителем \( x — 1 \). Таким образом, \( (x — 1)(x — 3)^2 \geq 0 \), когда \( x — 1 \geq 0 \), то есть \( x \geq 1 \). Область определения: \( x \in [1, +\infty) \).

Найдем нули функции, решив уравнение \( \sqrt{(x — 1)(x — 3)^2} = 0 \), что эквивалентно \( (x — 1)(x — 3)^2 = 0 \), откуда \( x — 1 = 0 \) или \( (x — 3)^2 = 0 \), то есть \( x = 1 \) или \( x = 3 \). Функция положительна на \( (1, 3) \cup (3, +\infty) \). Промежутки знакопостоянства: \( y > 0 \) на \( (1, 3) \cup (3, +\infty) \). Ответ: \( (1, 3); (3, +\infty) \).

6) Рассмотрим функцию \( y = [x] \), где \( [x] \) — целая часть числа \( x \), то есть наибольшее целое число, не превосходящее \( x \). Область определения — все действительные числа, то есть \( x \in \mathbb{R} \). Нули функции находятся там, где \( [x] = 0 \), что происходит на отрезке \( [0, 1) \), то есть при \( 0 \leq x < 1 \).

Проанализируем знак функции. На интервале \( (-\infty, 0) \) значение \( [x] \) отрицательно (например, для \( x = -1.5 \), \( [x] = -2 \)). На интервале \( [0, 1) \) значение \( [x] = 0 \), а на \( [1, +\infty) \) значение \( [x] \geq 1 \), то есть положительно. Промежутки знакопостоянства: \( y < 0 \) на \( (-\infty, 0) \), \( y = 0 \) на \( [0, 1) \), \( y > 0 \) на \( [1, +\infty) \). Ответ: \( (-\infty, 0); [1, +\infty) \).