ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте в одной системе координат график данной функции и график функции, обратной к ней:

1) \(y = 3x — 1\);

2) \(y = x^2 — 4, \text{если } x > 0\);

3) \(y = \begin{cases} \sqrt{x}, \text{если } x > 0, \\ 1, \text{если } x < 0. \end{cases}\)

1) \( y = 3x — 1 \)
Обратная функция: \( y = \frac{x + 1}{3} \)

2) \( y = x^2 — 4, x \geq 0 \)
Обратная функция: \( y = \sqrt{x + 4} \)

3) \( y = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \geq 0 \\ \frac{1}{2} x, & x < 0 \end{cases} \)
Обратная функция:
для \( y = \sqrt{x} \) — \( y = x^2, x \geq 0 \)
для \( y = \frac{1}{2} x \) — \( y = 2x, x < 0 \)

1) Дана функция \( y = 3x — 1 \). Чтобы найти обратную функцию, заменим \( y \) на \( x \) и \( x \) на \( y \):
\( x = 3y — 1 \).
Решим уравнение для \( y \):
\( x + 1 = 3y \),
\( y = \frac{x + 1}{3} \).
Обратная функция: \( y = \frac{x + 1}{3} \).

2) Дана функция \( y = x^{2} — 4 \), при условии \( x \geq 0 \). Чтобы найти обратную функцию, заменим \( y \) на \( x \) и \( x \) на \( y \):
\( x = y^{2} — 4 \).
Решим уравнение для \( y \):
\( x + 4 = y^{2} \),
\( y = \sqrt{x + 4} \), так как \( y \geq 0 \).
Обратная функция: \( y = \sqrt{x + 4} \).

3) Дана функция
\( y = \begin{cases} \sqrt{x}, & x \geq 0 \\ \frac{1}{2} x, & x < 0 \end{cases} \).
Рассмотрим каждую часть отдельно.

Для \( y = \sqrt{x} \), \( x \geq 0 \):
Заменим \( y \) на \( x \), \( x \) на \( y \):
\( x = \sqrt{y} \),
возведём обе части в квадрат:
\( x^{2} = y \),
то есть обратная функция для этой части: \( y = x^{2} \), при \( x \geq 0 \).

Для \( y = \frac{1}{2} x \), \( x < 0 \):
Заменим \( y \) на \( x \), \( x \) на \( y \):
\( x = \frac{1}{2} y \),
умножим обе части на 2:
\( 2x = y \),
то есть обратная функция для этой части: \( y = 2x \), при \( x < 0 \).