ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную к данной:

\(y = \begin{cases} \sqrt{x} — 2, \text{если } x > 3, \\ 2x — 5, \text{если } x < 3. \end{cases}\)

Если \( x \ge 3 \), то \( y = \sqrt{x — 2} \), значит \( y \ge \sqrt{3 — 2} = 1 \).

Если \( x < 3 \), то \( y = 2x — 5 \), значит \( y < 2 \cdot 3 — 5 = 1 \).

Если \( y \ge 1 \), то \( y = \sqrt{x — 2} \), возведём в квадрат: \( y^2 = x — 2 \), откуда \( x = y^2 + 2 \).

Если \( y < 1 \), то \( y = 2x — 5 \), решим для \( x \): \( 2x = y + 5 \), значит \( x = \frac{y + 5}{2} \).

Ответ: \( y = \begin{cases} x^2 + 2, & \text{если } x \ge 1 \\ \frac{x + 5}{2}, & \text{если } x < 1 \end{cases} \).

1. Дана функция \( y = \begin{cases} \sqrt{x — 2}, & \text{если } x \ge 3 \\ 2x — 5, & \text{если } x < 3 \end{cases} \).

2. Найдём область значений для каждого случая.

Если \( x \ge 3 \), то \( y = \sqrt{x — 2} \ge \sqrt{3 — 2} = 1 \).

Если \( x < 3 \), то \( y = 2x — 5 < 2 \cdot 3 — 5 = 1 \).

3. Значит, для обратной функции:

если \( y \ge 1 \), то исходили из первого случая,

если \( y < 1 \), то исходили из второго.

4. Найдём обратную функцию для первого случая \( y \ge 1 \).

\( y = \sqrt{x — 2} \)

Возводим обе части в квадрат:

\( y^{2} = x — 2 \)

Отсюда

\( x = y^{2} + 2 \).

5. Найдём обратную функцию для второго случая \( y < 1 \).

\( y = 2x — 5 \)

Решаем уравнение относительно \( x \):

\( 2x = y + 5 \)

\( x = \frac{y + 5}{2} \).

6. Обратная функция будет иметь вид

\( f^{-1}(y) = \begin{cases} y^{2} + 2, & \text{если } y \ge 1 \\ \frac{y + 5}{2}, & \text{если } y < 1 \end{cases} \).

7. Меняем переменную \( y \) на \( x \), чтобы записать обратную функцию в привычном виде:

\( f^{-1}(x) = \begin{cases} x^{2} + 2, & \text{если } x \ge 1 \\ \frac{x + 5}{2}, & \text{если } x < 1 \end{cases} \).