Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.13 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите функцию, обратную к данной:
\(y = \begin{cases} 2 — x^2, \text{если } x > 1, \\ 2 — x, \text{если } x < 1. \end{cases}\)
Если \(x \geq 1\), то \(y = 2 — x^2\). Подставим \(x = 1\), получим \(y = 2 — 1^2 = 1\), значит \(y \leq 1\).
Если \(x < 1\), то \(y = 2 — x\). Подставим \(x = 1\), получим \(y = 2 — 1 = 1\), значит \(y > 1\).
Если \(y \leq 1\), тогда \(y = 2 — x^2\), откуда \(x^2 = 2 — y\) и \(x = \sqrt{2 — y}\).
Если \(y > 1\), тогда \(y = 2 — x\), откуда \(x = 2 — y\).
Ответ: \(y = \begin{cases} \sqrt{2 — x}, & \text{если } x \leq 1, \\ 2 — x, & \text{если } x > 1. \end{cases}\)
1. Дана функция \(y = \begin{cases} 2 — x^2, & \text{если } x \geq 1, \\ 2 — x, & \text{если } x < 1. \end{cases}\)
2. Рассмотрим первый случай, когда \(x \geq 1\). Подставим \(x = 1\), тогда \(y = 2 — 1^2 = 1\). При увеличении \(x\) значение \(x^2\) растёт, значит \(y = 2 — x^2\) убывает, и \(y \leq 1\).
3. Рассмотрим второй случай, когда \(x < 1\). Подставим \(x = 1\), тогда \(y = 2 — 1 = 1\). При уменьшении \(x\) значение \(2 — x\) увеличивается, значит \(y > 1\).
4. Теперь найдём обратную функцию для случая \(y \leq 1\). Из уравнения \(y = 2 — x^2\) выразим \(x\): \(x^2 = 2 — y\), следовательно, \(x = \sqrt{2 — y}\), так как \(x \geq 1\) и \(x\) положительный.
5. Найдём обратную функцию для случая \(y > 1\). Из уравнения \(y = 2 — x\) выразим \(x\): \(x = 2 — y\).
6. Таким образом, обратная функция \(x = f^{-1}(y)\) задаётся формулой \(x = \begin{cases} \sqrt{2 — y}, & \text{если } y \leq 1, \\ 2 — y, & \text{если } y > 1. \end{cases}\)
7. Заменим переменные для удобства: \(y\) на \(x\), а \(x\) на \(y\).
8. Получим функцию обратную исходной: \(y = \begin{cases} \sqrt{2 — x}, & \text{если } x \leq 1, \\ 2 — x, & \text{если } x > 1. \end{cases}\)
9. Проверим на границе \(x = 1\): при \(x = 1\) из первой части \(y = \sqrt{2 — 1} = 1\), из второй части \(y = 2 — 1 = 1\), значения совпадают.
10. Итог: обратная функция к заданной равна \(y = \begin{cases} \sqrt{2 — x}, & \text{если } x \leq 1, \\ 2 — x, & \text{если } x > 1. \end{cases}\)
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.