ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Используя диаграммы Эйлера, проиллюстрируйте свойства операций над множествами:

1) \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\);

2) \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

1) Рассмотрим левую часть: \((A \cap B) \cap C\). Сначала находим пересечение \(A\) и \(B\), это общие элементы у множеств \(A\) и \(B\). Потом пересекаем результат с \(C\), то есть берем только те элементы, которые есть во всех трех множествах одновременно.

Правая часть: \(A \cap (B \cap C)\). Сначала находим пересечение \(B\) и \(C\), это общие элементы у множеств \(B\) и \(C\). Потом пересекаем результат с \(A\), то есть берем только те элементы, которые есть во всех трех множествах.

Так как результат одинаковый, то \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\).

2) Рассмотрим левую часть: \(A \cup (B \cap C)\). Сначала находим пересечение \(B\) и \(C\), это элементы, которые есть и в \(B\), и в \(C\). Потом объединяем это множество с \(A\), то есть берем все элементы, которые есть либо в \(A\), либо одновременно в \(B\) и в \(C\).

Правая часть: \((A \cup B) \cap (A \cup C)\). Сначала находим объединение \(A\) и \(B\), это все элементы, которые есть в \(A\) или в \(B\). Аналогично, находим объединение \(A\) и \(C\). Потом пересекаем эти два множества, то есть берем только те элементы, которые есть и в первом, и во втором объединениях.

Так как результат одинаковый, то \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).

1) Рассмотрим левую часть выражения \((A \cap B) \cap C\). Сначала находим пересечение множеств \(A\) и \(B\), то есть выбираем те элементы, которые одновременно принадлежат и \(A\), и \(B\). Обозначим это множество как \(D = A \cap B\). Затем пересекаем множество \(D\) с множеством \(C\), то есть выбираем элементы, которые есть и в \(D\), и в \(C\). В итоге получаем множество элементов, которые принадлежат одновременно \(A\), \(B\) и \(C\).

2) Теперь рассмотрим правую часть выражения \(A \cap (B \cap C)\). Сначала находим пересечение множеств \(B\) и \(C\), то есть выбираем элементы, которые есть одновременно в \(B\) и в \(C\). Обозначим это множество как \(E = B \cap C\). Затем пересекаем множество \(E\) с множеством \(A\), выбирая элементы, которые принадлежат и \(A\), и \(E\). В итоге получаем множество элементов, которые принадлежат одновременно \(A\), \(B\) и \(C\).

3) Поскольку в обоих случаях результатом является множество элементов, принадлежащих одновременно \(A\), \(B\) и \(C\), можно сделать вывод, что \((A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)\).

4) Рассмотрим левую часть второго выражения \(A \cup (B \cap C)\). Сначала находим пересечение множеств \(B\) и \(C\), то есть выбираем элементы, которые есть одновременно в \(B\) и в \(C\). Обозначим это множество как \(F = B \cap C\). Затем объединяем множество \(A\) с множеством \(F\), то есть выбираем все элементы, которые принадлежат либо \(A\), либо одновременно \(B\) и \(C\).

5) Теперь рассмотрим правую часть выражения \((A \cup B) \cap (A \cup C)\). Сначала находим объединение множеств \(A\) и \(B\), выбирая все элементы, которые принадлежат либо \(A\), либо \(B\). Обозначим это множество как \(G = A \cup B\). Аналогично, находим объединение множеств \(A\) и \(C\), обозначим его как \(H = A \cup C\).

6) Затем находим пересечение множеств \(G\) и \(H\), то есть выбираем элементы, которые одновременно принадлежат и \(G\), и \(H\). Это множество состоит из элементов, которые принадлежат либо \(A\), либо и \(B\), и \(C\) одновременно.

7) Проанализируем, что именно входит в множество \(G \cap H\). Если элемент принадлежит \(A\), то он входит и в \(G\), и в \(H\), так как \(A\) содержится в обоих объединениях. Если элемент не принадлежит \(A\), чтобы попасть в \(G \cap H\), он должен одновременно принадлежать и \(B\), и \(C\).

8) Таким образом, множество \(G \cap H\) состоит из всех элементов, которые либо принадлежат \(A\), либо одновременно принадлежат и \(B\), и \(C\).

9) Это совпадает с множеством \(A \cup (B \cap C)\), которое мы получили в левой части выражения.

10) Следовательно, можно утверждать, что \(A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)\).