ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что данная функция не является обратимой:

1) \(y = |x|\);

2) \(y = \frac{1}{x^4}\);

3) \(y = 5\);

4) \(y = [x]\).

1) Пусть \(x_1 = -3\), \(x_2 = 3\), тогда \(y(x_1) = |-3| = 3\), \(y(x_2) = |3| = 3\). Для одного значения \(y\) есть два значения \(x\), значит функция не обратима.

2) Пусть \(x_1 = -1\), \(x_2 = 1\), тогда \(y(x_1) = \frac{1}{(-1)^4} = 1\), \(y(x_2) = \frac{1}{1^4} = 1\). Для одного значения \(y\) есть два значения \(x\), значит функция не обратима.

3) Пусть \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\), тогда \(y(x_1) = 5\), \(y(x_2) = 5\). Для одного значения \(y\) есть два значения \(x\), значит функция не обратима.

4) Пусть \(x_1 = 1.1\), \(x_2 = 1.2\), тогда \(y(x_1) = [1.1] = 1\), \(y(x_2) = [1.2] = 1\). Для одного значения \(y\) есть два значения \(x\), значит функция не обратима.

1) Рассмотрим функцию \(y = |x|\). Пусть \(x_1 = -3\) и \(x_2 = 3\). Тогда \(y(x_1) = |-3| = 3\) и \(y(x_2) = |3| = 3\). Мы видим, что для одного значения \(y = 3\) существуют два разных значения \(x\), а именно \(x = -3\) и \(x = 3\). Это значит, что функция не является обратимой, так как обратная функция должна однозначно соответствовать каждому значению.

2) Рассмотрим функцию \(y = \frac{1}{x^4}\). Пусть \(x_1 = -1\) и \(x_2 = 1\). Тогда \(y(x_1) = \frac{1}{(-1)^4} = 1\) и \(y(x_2) = \frac{1}{1^4} = 1\). Здесь для одного значения \(y = 1\) также есть два различных значения \(x\), то есть функция не обратима.

3) Рассмотрим функцию \(y = 5\), которая постоянна для всех \(x\). Пусть \(x_1 = 0\) и \(x_2 = 2\). Тогда \(y(x_1) = 5\) и \(y(x_2) = 5\). Для одного значения \(y = 5\) множество значений \(x\) бесконечно, значит обратная функция не существует.

4) Рассмотрим функцию \(y = [x]\) — целая часть числа \(x\). Пусть \(x_1 = 1.1\) и \(x_2 = 1.2\). Тогда \(y(x_1) = [1.1] = 1\) и \(y(x_2) = [1.2] = 1\). Для одного значения \(y = 1\) существует множество значений \(x\) из промежутка \([1,2)\), значит функция не обратима.