ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что функции \(f\) и \(g\) являются взаимно обратимыми:

1) \(f(x) = \frac{x+1}{3}, g(x) = 3x — 1\);

2) \(f(x) = \sqrt{x+2}, g(x) = x^2 — 2, D(g) = [0; +\infty)\).

1) \(f(x) = \frac{x + 1}{3}\), \(g(x) = 3x — 1\). Пусть \(f(x_0) = y_0\), тогда \(y_0 = \frac{x_0 + 1}{3}\). Докажем, что \(g(y_0) = x_0\):
\(g(y_0) = 3 \cdot \frac{x_0 + 1}{3} — 1 = x_0 + 1 — 1 = x_0\). Что и требовалось доказать.

2) \(f(x) = \sqrt{x + 2}\), \(g(x) = x^2 — 2\), \(D(g) = [0; +\infty)\). Пусть \(f(x_0) = y_0\), тогда \(y_0 = \sqrt{x_0 + 2}\). Докажем, что \(g(y_0) = x_0\):
\(g(y_0) = (\sqrt{x_0 + 2})^2 — 2 = x_0 + 2 — 2 = x_0\). Что и требовалось доказать.

1) Рассмотрим функцию \(f(x) = \frac{x + 1}{3}\). Пусть \(x_0\) — любое число из области определения функции \(f\), то есть \(x_0 \in \mathbb{R}\). Вычислим \(y_0 = f(x_0)\), тогда \(y_0 = \frac{x_0 + 1}{3}\).

Теперь подставим \(y_0\) в функцию \(g(x) = 3x — 1\). Получаем \(g(y_0) = 3 \cdot \frac{x_0 + 1}{3} — 1\). Упростим выражение: \(3 \cdot \frac{x_0 + 1}{3} = x_0 + 1\), значит \(g(y_0) = x_0 + 1 — 1 = x_0\). Это доказывает, что \(g(f(x)) = x\).

Далее возьмём любое число \(x_1 \in \mathbb{R}\), область определения функции \(g\). Вычислим \(z_0 = g(x_1) = 3x_1 — 1\).

Подставим \(z_0\) в функцию \(f\): \(f(z_0) = \frac{(3x_1 — 1) + 1}{3} = \frac{3x_1}{3} = x_1\). Значит \(f(g(x)) = x\). Таким образом, функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.

2) Рассмотрим функцию \(f(x) = \sqrt{x + 2}\). Область определения функции \(f\) — все \(x\), при которых выражение под корнем неотрицательно, то есть \(x + 2 \geq 0\), откуда \(x \geq -2\). Значит \(D(f) = [-2; +\infty)\).

Пусть \(x_0 \in D(f)\). Вычислим \(y_0 = f(x_0) = \sqrt{x_0 + 2}\). По определению функции \(g\), \(g(x) = x^2 — 2\), область определения \(D(g) = [0; +\infty)\).

Подставим \(y_0\) в функцию \(g\): \(g(y_0) = (\sqrt{x_0 + 2})^2 — 2 = x_0 + 2 — 2 = x_0\). Значит \(g(f(x)) = x\).

Теперь возьмём \(x_1 \in D(g) = [0; +\infty)\). Вычислим \(z_0 = g(x_1) = x_1^2 — 2\). Подставим \(z_0\) в функцию \(f\): \(f(z_0) = \sqrt{(x_1^2 — 2) + 2} = \sqrt{x_1^2} = x_1\), так как \(x_1 \geq 0\).

Таким образом, \(f(g(x)) = x\) для всех \(x \in D(g)\). Функции \(f\) и \(g\) взаимно обратны.