ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.6 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную к данной:

1) \(y = 3x — 1\);

2) \(y = \frac{1}{x}\);

3) \(y = \frac{1}{2x + 1}\);

4) \(y = \frac{1}{3}x + 4\).

1) \( y = 3x — 1 \)
\( y + 1 = 3x \)
\( x = \frac{y + 1}{3} \)
Поменяли \(x\) и \(y\):
\( y = \frac{x + 1}{3} \)

2) \( y = \frac{1}{x} \)
\( xy = 1 \)
\( x = \frac{1}{y} \)
Поменяли \(x\) и \(y\):
\( y = \frac{1}{x} \)

3) \( y = \frac{1}{2x + 1} \)
\( y(2x + 1) = 1 \)
\( 2xy + y = 1 \)
\( 2xy = 1 — y \)
\( x = \frac{1 — y}{2y} \)
Поменяли \(x\) и \(y\):
\( y = \frac{1 — x}{2x} \)

4) \( y = \frac{1}{3}x + 4 \)
\( y — 4 = \frac{1}{3}x \)
\( x = 3(y — 4) \)
\( x = 3y — 12 \)
Поменяли \(x\) и \(y\):
\( y = 3x — 12 \)

1) Рассмотрим функцию \( y = 3x — 1 \). Это линейное уравнение, где \(y\) зависит от \(x\). Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить \(x\) через \(y\). Сначала прибавим единицу к обеим частям уравнения, чтобы избавиться от минуса: \( y + 1 = 3x \). Это действие позволяет изолировать член с переменной \(x\) на правой стороне. Затем разделим обе части уравнения на 3, так как \(x\) умножен на 3: \( x = \frac{y + 1}{3} \). Теперь мы получили выражение для \(x\) через \(y\).

Следующий шаг — поменять местами переменные \(x\) и \(y\), так как обратная функция меняет роли входа и выхода. То есть вместо \(x\) подставляем \(y\), а вместо \(y\) — \(x\). Получаем: \( y = \frac{x + 1}{3} \). Это и есть обратная функция для исходной. Она показывает, как найти исходное значение \(x\), если известно значение \(y\).

Таким образом, при заданной функции \( y = 3x — 1 \), обратная функция будет \( y = \frac{x + 1}{3} \). Это значит, что если мы знаем результат \(y\), то можем вычислить исходное значение \(x\) по формуле обратной функции.

2) Дана функция \( y = \frac{1}{x} \). Здесь \(y\) выражается как обратное число к \(x\). Чтобы найти обратную функцию, начнем с умножения обеих частей уравнения на \(x\), чтобы избавиться от дроби: \( xy = 1 \). Это равенство означает, что произведение \(x\) и \(y\) всегда равно 1.

Теперь выразим \(x\) через \(y\), разделив обе части на \(y\): \( x = \frac{1}{y} \). Получили выражение, где \(x\) зависит от \(y\). Чтобы получить обратную функцию, меняем местами \(x\) и \(y\), получаем: \( y = \frac{1}{x} \).

Интересно, что функция \( y = \frac{1}{x} \) является своей собственной обратной функцией. Это значит, что если мы применим функцию дважды, вернемся к исходному значению.

3) Рассмотрим функцию \( y = \frac{1}{2x + 1} \). Здесь \(y\) — это дробь с выражением \(2x + 1\) в знаменателе. Чтобы найти обратную функцию, сначала избавимся от дроби, умножив обе части уравнения на \(2x + 1\): \( y(2x + 1) = 1 \). Это равенство говорит, что произведение \(y\) на \(2x + 1\) равно 1.

Раскроем скобки слева: \( 2xy + y = 1 \). Теперь выделим слагаемое с \(x\): \( 2xy = 1 — y \). Делим обе части на \(2y\), чтобы выразить \(x\): \( x = \frac{1 — y}{2y} \).

Для получения обратной функции меняем местами \(x\) и \(y\), получаем: \( y = \frac{1 — x}{2x} \). Эта формула показывает, как найти \(y\) в зависимости от \(x\) в обратной функции.

4) Рассмотрим функцию \( y = \frac{1}{3}x + 4 \). Это линейная функция с коэффициентом \(\frac{1}{3}\) и сдвигом на 4. Чтобы найти обратную функцию, сначала избавимся от свободного члена 4, вычтя его из обеих частей: \( y — 4 = \frac{1}{3}x \).

Далее умножим обе части на 3, чтобы избавиться от дроби: \( 3(y — 4) = x \). Раскроем скобки: \( x = 3y — 12 \). Теперь \(x\) выражен через \(y\).

Меняем местами \(x\) и \(y\), получаем обратную функцию: \( y = 3x — 12 \). Это значит, что если известен результат \(y\) исходной функции, то мы можем найти исходное \(x\) по формуле обратной функции.