ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную к данной:

1) \(y = 0,2x + 3\);

2) \(y = \frac{1}{x — 1}\);

3) \(y = \frac{4}{x + 2}\);

4) \(y = 4x — 5\).

1) \( y = 0,2x + 3 \)
\( y — 3 = 0,2x \)
\( x = \frac{y — 3}{0,2} = 5y — 15 \)
Ответ: \( y = 5x — 15 \)

2) \( y = \frac{1}{x — 1} \)
\( y(x — 1) = 1 \)
\( yx — y = 1 \)
\( yx = 1 + y \)
\( x = \frac{1 + y}{y} = \frac{1}{y} + 1 \)
Ответ: \( y = \frac{1}{x} + 1 \)

3) \( y = \frac{4}{x + 2} \)
\( y(x + 2) = 4 \)
\( yx + 2y = 4 \)
\( yx = 4 — 2y \)
\( x = \frac{4 — 2y}{y} = \frac{4}{y} — 2 \)
Ответ: \( y = \frac{4}{x} — 2 \)

4) \( y = 4x — 5 \)
\( y + 5 = 4x \)
\( x = \frac{y + 5}{4} = \frac{y}{4} + \frac{5}{4} \)
Ответ: \( y = \frac{x}{4} + \frac{5}{4} \)

1) Дана функция \( y = 0,2x + 3 \). Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить \( x \) через \( y \). Сначала вычтем 3 из обеих частей уравнения: \( y — 3 = 0,2x \). Теперь разделим обе части на 0,2: \( x = \frac{y — 3}{0,2} \). Деление на десятичную дробь можно представить как умножение на 5, значит \( x = 5(y — 3) \). Раскроем скобки: \( x = 5y — 15 \). Теперь поменяем местами \( x \) и \( y \), чтобы получить обратную функцию: \( y = 5x — 15 \).

2) Дана функция \( y = \frac{1}{x — 1} \). Чтобы найти обратную, умножим обе части на \( x — 1 \): \( y(x — 1) = 1 \). Раскроем скобки: \( yx — y = 1 \). Перенесём \( y \) вправо: \( yx = 1 + y \). Теперь выразим \( x \): \( x = \frac{1 + y}{y} \). Разделим дробь на две части: \( x = \frac{1}{y} + 1 \). Меняем местами \( x \) и \( y \), получаем обратную функцию: \( y = \frac{1}{x} + 1 \).

3) Дана функция \( y = \frac{4}{x + 2} \). Умножим обе части на \( x + 2 \): \( y(x + 2) = 4 \). Раскроем скобки: \( yx + 2y = 4 \). Перенесём \( 2y \) вправо: \( yx = 4 — 2y \). Выразим \( x \): \( x = \frac{4 — 2y}{y} \). Разделим дробь на две части: \( x = \frac{4}{y} — 2 \). Меняем местами \( x \) и \( y \), получаем обратную функцию: \( y = \frac{4}{x} — 2 \).

4) Дана функция \( y = 4x — 5 \). Чтобы найти обратную функцию, сначала прибавим 5 к обеим частям: \( y + 5 = 4x \). Теперь разделим обе части на 4: \( x = \frac{y + 5}{4} \). Это можно записать как сумму дробей: \( x = \frac{y}{4} + \frac{5}{4} \). Меняем местами \( x \) и \( y \), получаем обратную функцию: \( y = \frac{x}{4} + \frac{5}{4} \).