ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную к данной:

1) \(y = 2\sqrt{x} — 1\);

2) \(y = x^2, D(y) = (-\infty; 0]\);

3) \(y = \frac{1 — x}{1 + x}\).

1) \( y = 2\sqrt{x} — 1 \)
\( y + 1 = 2\sqrt{x} \)
\( \sqrt{x} = \frac{y + 1}{2} \)
\( x = \left(\frac{y + 1}{2}\right)^2 = \frac{(y + 1)^2}{4} \)
Ответ: \( y = \frac{(x + 1)^2}{4} \)

2) \( y = x^2, \quad D(y) = (-\infty; 0] \)
\( x^2 = y, \quad x \leq 0 \)
\( x = -\sqrt{y} \)
Ответ: \( y = -\sqrt{x} \)

3) \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \)
\( y(1 + x) = 1 — x \)
\( y + yx = 1 — x \)
\( yx + x = 1 — y \)
\( x(y + 1) = 1 — y \)
\( x = \frac{1 — y}{1 + y} \)
Ответ: \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \)

1)
Дано \( y = 2\sqrt{x} — 1 \). Сначала прибавим 1 к обеим частям уравнения: \( y + 1 = 2\sqrt{x} \). Теперь разделим обе части на 2: \( \frac{y + 1}{2} = \sqrt{x} \). Чтобы избавиться от корня, возведём обе части в квадрат: \( \left(\frac{y + 1}{2}\right)^2 = x \). Раскроем квадрат: \( \frac{(y + 1)^2}{4} = x \). Меняем местами \(x\) и \(y\), получаем обратную функцию: \( y = \frac{(x + 1)^2}{4} \).

2)
Дано \( y = x^2 \) при области определения \( x \leq 0 \). Чтобы найти обратную функцию, выразим \( x \) через \( y \): \( x^2 = y \). Извлечём корень: \( x = \pm \sqrt{y} \). Так как \( x \leq 0 \), выбираем отрицательный корень: \( x = -\sqrt{y} \). Меняем переменные местами, получаем обратную функцию: \( y = -\sqrt{x} \).

3)
Дано \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \). Умножим обе части на \( 1 + x \): \( y(1 + x) = 1 — x \). Раскроем скобки слева: \( y + yx = 1 — x \). Перенесём все с \( x \) в одну сторону: \( yx + x = 1 — y \). Вынесем \( x \) за скобки: \( x(y + 1) = 1 — y \). Разделим обе части на \( y + 1 \): \( x = \frac{1 — y}{y + 1} \). Меняем переменные местами, получаем обратную функцию: \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \).