ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную к данной:

1) \(y = 2\sqrt{x} — 1\);

2) \(y = x^2, D(y) = (-\infty; 0]\);

3) \(y = \frac{1 — x}{1 + x}\).

1) \( y = 2\sqrt{x} — 1 \)
\( y + 1 = 2\sqrt{x} \)
\( \sqrt{x} = \frac{y + 1}{2} \)
\( x = \left(\frac{y + 1}{2}\right)^2 = \frac{(y + 1)^2}{4} \)
Ответ: \( y = \frac{(x + 1)^2}{4} \)

2) \( y = x^2, \quad D(y) = (-\infty; 0] \)
\( x^2 = y, \quad x \leq 0 \)
\( x = -\sqrt{y} \)
Ответ: \( y = -\sqrt{x} \)

3) \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \)
\( y(1 + x) = 1 — x \)
\( y + yx = 1 — x \)
\( yx + x = 1 — y \)
\( x(y + 1) = 1 — y \)
\( x = \frac{1 — y}{1 + y} \)
Ответ: \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \)

В первом примере рассмотрим функцию \( y = 2\sqrt{x} — 1 \). Для нахождения обратной функции сначала к обеим частям уравнения прибавим единицу, получая \( y + 1 = 2\sqrt{x} \). Этот шаг необходим для изоляции выражения, содержащего переменную под корнем. Далее обе части делим на два, что приводит к \( \frac{y + 1}{2} = \sqrt{x} \). Теперь, чтобы избавиться от корня, возводим обе части в квадрат: \( \left(\frac{y + 1}{2}\right)^2 = x \). Раскрывая квадрат, получаем \( \frac{(y + 1)^2}{4} = x \). Меняя местами переменные, получаем обратную функцию: \( y = \frac{(x + 1)^2}{4} \). Такой способ позволяет поэтапно выразить одну переменную через другую, сохраняя корректность преобразований на каждом этапе, а также обеспечивает правильное обращение функции при наличии корня и линейных преобразований.

Во втором примере рассматривается квадратичная функция \( y = x^2 \) с областью определения \( x \leq 0 \). Для нахождения обратной функции необходимо выразить \( x \) через \( y \): \( x^2 = y \). Извлекаем корень, получая два возможных значения: \( x = \pm \sqrt{y} \). Однако, учитывая ограничение области определения, выбираем только отрицательный корень: \( x = -\sqrt{y} \), так как только он соответствует исходной области \( x \leq 0 \). После этого меняем переменные местами, получая обратную функцию: \( y = -\sqrt{x} \). Такой подход демонстрирует важность учета области определения исходной функции при нахождении обратной, чтобы результат был корректным и соответствовал всем условиям задачи.

В третьем примере дана дробная функция \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \). Для нахождения обратной функции сначала умножаем обе части на знаменатель, получая \( y(1 + x) = 1 — x \). Раскрываем скобки слева, получаем \( y + yx = 1 — x \). Далее переносим все с переменной \( x \) в одну сторону: \( yx + x = 1 — y \). Вынесем \( x \) за скобки: \( x(y + 1) = 1 — y \). Разделим обе части на \( y + 1 \), получая \( x = \frac{1 — y}{y + 1} \). После замены переменных местами получаем обратную функцию: \( y = \frac{1 — x}{1 + x} \). Данный пример иллюстрирует процесс обращения рациональной функции, где важно правильно выполнять алгебраические преобразования и следить за областью определения, чтобы избежать деления на ноль и получить корректный результат.