ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 20.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите функцию, обратную к данной:

1) \(y = \frac{x + 2}{x}\);

2) \(y = \frac{1}{\sqrt{x}}\);

3) \(y = \sqrt{x^2 — 4}, D(y) = [2; +\infty)\).

1) \( y = \frac{x + 2}{x} \)
\( yx = x + 2 \)
\( yx — x = 2 \)
\( x(y — 1) = 2 \)
\( x = \frac{2}{y — 1} \)
Ответ: \( y = \frac{2}{x — 1} \)

2) \( y = \frac{1}{\sqrt{x}} \)
\( y \sqrt{x} = 1 \)
\( \sqrt{x} = \frac{1}{y} \)
\( x = \frac{1}{y^2} \)
Ответ: \( y = \frac{1}{x^2} \)

3) \( y = \sqrt{x^2 — 4} \), \( D(y) = [2; +\infty) \)
\( y^2 = x^2 — 4 \)
\( x^2 = y^2 + 4 \)
\( x = \sqrt{y^2 + 4} \)
Ответ: \( y = \sqrt{x^2 + 4} \)

1) Начинаем с функции \( y = \frac{x + 2}{x} \). Чтобы найти обратную, умножим обе части на \( x \), получим \( yx = x + 2 \). Переносим все с \( x \) в одну сторону: \( yx — x = 2 \). Вынесем \( x \) за скобки: \( x(y — 1) = 2 \). Теперь выразим \( x \): \( x = \frac{2}{y — 1} \). Меняем местами \( x \) и \( y \), получаем обратную функцию: \( y = \frac{2}{x — 1} \).

2) Рассмотрим функцию \( y = \frac{1}{\sqrt{x}} \). Перемножаем: \( y \sqrt{x} = 1 \). Выражаем корень: \( \sqrt{x} = \frac{1}{y} \). Возводим обе части в квадрат: \( x = \frac{1}{y^{2}} \). Меняем местами \( x \) и \( y \), получаем обратную функцию: \( y = \frac{1}{x^{2}} \).

3) Дана функция \( y = \sqrt{x^{2} — 4} \) с областью определения \( D(y) = [2; +\infty) \). Возводим обе части в квадрат: \( y^{2} = x^{2} — 4 \). Выражаем \( x^{2} \): \( x^{2} = y^{2} + 4 \). Так как \( x \geq 2 \), берем положительный корень: \( x = \sqrt{y^{2} + 4} \). Меняем местами \( x \) и \( y \), получаем обратную функцию: \( y = \sqrt{x^{2} + 4} \).