ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \(\sqrt[3]{216}\); 3) \(5-0,00001\);

5) \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\); 7) \(\sqrt[4]{92}\);

2) \(\sqrt[4]{0,0016}\); 4) \(\sqrt[4]{\frac{13}{81}}\);

6) \(\sqrt[3]{-\frac{243}{5}}\); 8) \(\sqrt[6]{82}\).

1) \( \sqrt[3]{216} \) — число 216 можно представить как \( 6^3 \), значит \( \sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} = 6 \).

2) \( \sqrt[4]{0,0016} \) — записываем число в виде дроби: \( 0,0016 = \frac{16}{10000} \). Числитель и знаменатель можно представить в степенях: \( 16 = 2^4 \), \( 10000 = 10^4 \). Тогда \( \sqrt[4]{0,0016} = \sqrt[4]{\frac{2^4}{10^4}} = \frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{10^4}} = \frac{2}{10} = 0,2 \).

3) \( \sqrt[5]{-0,00001} \) — число \( 0,00001 = \frac{1}{100000} = 10^{-5} \). Тогда \( \sqrt[5]{-0,00001} = \sqrt[5]{-\frac{1}{10^5}} = -\sqrt[5]{\frac{1}{10^5}} = -\frac{1}{\sqrt[5]{10^5}} = -\frac{1}{10} = -0,1 \).

4) \( \sqrt[4]{\frac{13}{81}} \) — в условии написано \( \frac{256}{81} \), предположим, что нужно считать \( \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \). Числа \( 256 = 4^4 \), \( 81 = 3^4 \). Тогда \( \sqrt[4]{\frac{256}{81}} = \frac{\sqrt[4]{4^4}}{\sqrt[4]{3^4}} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3} \).

5) \( \sqrt[3]{\frac{1}{8}} \) — число 8 можно представить как \( 2^3 \), значит \( \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{1}{2} = 0,5 \).

6) \( \frac{1}{3} \sqrt[3]{-27} \) — число \( -27 = -(3^3) \), значит \( \sqrt[3]{-27} = -3 \). Тогда \( \frac{1}{3} \sqrt[3]{-27} = \frac{1}{3} \cdot (-3) = -1 \).

7) \( \sqrt[4]{81} \) — число 81 можно представить как \( 3^4 \), значит \( \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3 \).

8) \( \sqrt[6]{64} \) — число 64 можно представить как \( 2^6 \), значит \( \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2 \).

Рассмотрим подробно вычисление \( \sqrt[3]{216} \). Для начала заметим, что 216 — это кубическое число, его можно представить в виде \( 6^3 \), потому что \( 6 \times 6 \times 6 = 216 \). Следовательно, корень третьей степени из 216 записывается как \( \sqrt[3]{216} = \sqrt[3]{6^3} \). По определению корня степени, если у нас есть \( \sqrt[n]{a^n} \), то результат равен \( a \). Таким образом, \( \sqrt[3]{6^3} = 6 \). То есть, корень третьей степени из 216 равен 6, потому что 6, возведённое в третью степень, даёт исходное число.

Перейдём к вычислению \( \sqrt[4]{0,0016} \). Сначала преобразуем десятичное число в дробь: \( 0,0016 = \frac{16}{10000} \). Далее, разложим числитель и знаменатель на степени: \( 16 = 2^4 \), а \( 10000 = 10^4 \), ведь \( 10^4 = 10000 \). Теперь применим свойство корня: \( \sqrt[4]{\frac{2^4}{10^4}} = \frac{\sqrt[4]{2^4}}{\sqrt[4]{10^4}} \). Корень четвёртой степени из \( 2^4 \) равен 2, а из \( 10^4 \) равен 10, так как \( \sqrt[4]{a^4} = a \). Получаем \( \frac{2}{10} \), что в десятичном виде равно 0,2. Таким образом, \( \sqrt[4]{0,0016} = 0,2 \).

Рассмотрим вычисление \( \sqrt[5]{-0,00001} \). Преобразуем число: \( 0,00001 = \frac{1}{100000} \), а \( 100000 = 10^5 \), значит \( 0,00001 = 10^{-5} \). Теперь учтём отрицательный знак: \( \sqrt[5]{-0,00001} = \sqrt[5]{-\frac{1}{10^5}} \). Корень нечётной степени из отрицательного числа существует и равен отрицательному корню соответствующего положительного числа. Значит, \( \sqrt[5]{-\frac{1}{10^5}} = -\sqrt[5]{\frac{1}{10^5}} = -\frac{1}{\sqrt[5]{10^5}} \). Поскольку \( \sqrt[5]{10^5} = 10 \), получаем \( -\frac{1}{10} = -0,1 \).

Рассмотрим вычисление \( \sqrt[4]{\frac{256}{81}} \). Для начала представим числитель и знаменатель в виде степеней: \( 256 = 4^4 \), \( 81 = 3^4 \). Тогда исходное выражение превращается в \( \sqrt[4]{\frac{4^4}{3^4}} \). Применим свойство корня: \( \sqrt[4]{\frac{a^4}{b^4}} = \frac{\sqrt[4]{a^4}}{\sqrt[4]{b^4}} = \frac{a}{b} \). В нашем случае это \( \frac{4}{3} \). В виде смешанного числа это \( 1 \frac{1}{3} \). Таким образом, корень четвёртой степени из \( \frac{256}{81} \) равен \( \frac{4}{3} \).

Для вычисления \( \sqrt[3]{\frac{1}{8}} \) представим 8 как степень: \( 8 = 2^3 \). Тогда выражение превращается в \( \sqrt[3]{\frac{1}{2^3}} \). Используем свойство корня: \( \sqrt[3]{\frac{1}{a^3}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{a^3}} \). Корень третьей степени из 1 — это 1, а из \( 2^3 \) — это 2. Получаем \( \frac{1}{2} \), что в десятичном виде равно 0,5.

Вычислим \( \frac{1}{3} \sqrt[3]{-27} \). Число \(-27\) можно записать как \(-1 \times 3^3\). Корень третьей степени из \(-27\) — это \(-3\), так как \( (-3)^3 = -27 \). Теперь умножим на \(\frac{1}{3}\): \( \frac{1}{3} \cdot (-3) = -1 \). Следовательно, результат равен -1.

Для вычисления \( \sqrt[4]{81} \) представим 81 как степень: \( 81 = 3^4 \). Тогда \( \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} \). По свойству корня получаем 3, так как \( \sqrt[4]{a^4} = a \). То есть, корень четвёртой степени из 81 равен 3.

Рассмотрим вычисление \( \sqrt[6]{64} \). Число 64 можно представить как \( 2^6 \). Тогда \( \sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} \). По свойству корня степени результат равен 2, так как \( \sqrt[6]{a^6} = a \). Следовательно, корень шестой степени из 64 равен 2.