ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \(x^9 = 1\);

3) \(x^{18} = 0\);

5) \(64x^6 + 2 = 0\);

2) \(x^{10} = 1\);

4) \(x^6 = -64\);

6) \((x — 3)^6 = 729\).

1) \(x^9 = 1\)
\(x = \sqrt[9]{1} = 1\)
Ответ: 1.

2) \(x^{10} = 1\)
\(x = \pm \sqrt[10]{1} = \pm 1\)
Ответ: \(\pm 1\).

3) \(x^{18} = 0\)
\(x = \pm \sqrt[18]{0} = 0\)
Ответ: 0.

4) \(x^6 = -64 < 0\)
Ответ: корней нет.

5) \(64x^5 + 2 = 0\)
\(64x^5 = -2\)
\(x^5 = -\frac{2}{64} = -\frac{1}{32}\)
\(x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}} = -\frac{1}{2} = -0,5\)
Ответ: -0,5.

6) \((x-3)^6 = 729\)
\((x-3)^6 = (\pm 3)^6\)
Первое уравнение: \(x-3 = -3\)
\(x = 0\)
Второе уравнение: \(x-3 = 3\)
\(x = 6\)
Ответ: 0; 6.

Уравнение \(x^9 = 1\) требует найти такие значения переменной \(x\), которые при возведении в девятую степень дают результат, равный единице. Наиболее очевидное решение — это \(x = 1\), поскольку \(1^9 = 1\). Однако, если рассматривать комплексные числа, то уравнение имеет девять корней, которые называются корнями из единицы девятой степени и выражаются через формулу \(x = \cos\left(\frac{2\pi k}{9}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{9}\right)\), где \(k\) принимает значения от 0 до 8. В рамках вещественных чисел единственным решением будет \(x = 1\).

В уравнении \(x^{10} = 1\) задача состоит в нахождении всех чисел, которые при возведении в десятую степень дают единицу. Если рассматривать только вещественные числа, то возможны два варианта: \(x = 1\), поскольку \(1^{10} = 1\), и \(x = -1\), так как \((-1)^{10} = 1\) — ведь любая чётная степень отрицательного числа даст положительный результат. В комплексной области существует десять решений, которые записываются как \(x = \cos\left(\frac{2\pi k}{10}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi k}{10}\right)\), где \(k\) от 0 до 9, но среди вещественных решений остаются только \(x = 1\) и \(x = -1\).

Для уравнения \(x^{18} = 0\) требуется найти такое значение переменной \(x\), которое при возведении в восемнадцатую степень даёт ноль. В данном случае единственным числом, удовлетворяющим этому условию, является ноль, поскольку только \(0^{18} = 0\). Ни одно другое число, кроме нуля, не может при возведении в любую натуральную степень дать ноль. Это свойство характерно для степени с натуральным показателем: если основание степени не равно нулю, результат всегда отличен от нуля. Поэтому единственное решение — \(x = 0\).

Уравнение \(x^6 = -64\) не имеет решений в множестве действительных чисел, потому что любое число, возведённое в чётную степень, всегда даёт неотрицательное значение: \(x^6 \geq 0\) для всех действительных \(x\). Правая часть уравнения — отрицательное число (\(-64\)), а значит, ни одно действительное число не удовлетворяет этому уравнению. Если рассматривать комплексные числа, то решение существует, но в рамках вещественных чисел ответ — пустое множество, то есть \(\emptyset\).

В уравнении \(64x^5 + 2 = 0\) сначала переносим свободный член направо: \(64x^5 = -2\). Далее делим обе части на 64, получая \(x^5 = -\frac{2}{64}\). Сокращаем дробь: \(x^5 = -\frac{1}{32}\). Теперь требуется найти пятый корень из отрицательной дроби. Поскольку степень нечётная, отрицательное значение допускается, и корень существует: \(x = \sqrt[5]{-\frac{1}{32}}\). Корень пятой степени из \(-1\) равен \(-1\), а из \(32\) равен \(2\), так что итоговое решение — \(x = -\frac{1}{2}\), или в десятичном виде \(x = -0,5\).

Рассмотрим уравнение \((x — 3)^6 = 729\). Преобразуем правую часть: \(729 = 3^6\), следовательно, уравнение принимает вид \((x — 3)^6 = 3^6\). Для шестой степени возможны два вещественных корня: либо основание степени равно тройке, либо минус тройке, то есть \(x — 3 = 3\) или \(x — 3 = -3\). Решая каждое из этих уравнений, получаем: при \(x — 3 = 3\) имеем \(x = 6\); при \(x — 3 = -3\) получаем \(x = 0\). Оба значения удовлетворяют исходному уравнению, поэтому ответ: \(x = 0\) и \(x = 6\).