ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:

1) \(\sqrt{\frac{|x| — 1}{x^2 — 9}}\);

2) \(\sqrt[6]{- |x|} + \frac{1}{\sqrt[3]{3 — x}}\).

1) Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю:
\(\frac{|x| — 1}{x^2 — 9} \geq 0\), \(x^2 — 9 \neq 0\).
Знаменатель раскладываем: \(x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)\), значит \(x \neq 3\), \(x \neq -3\).
Числитель: \(|x| — 1 \geq 0 \Rightarrow |x| \geq 1 \Rightarrow x \leq -1\) или \(x \geq 1\).
Проверяем знаки:
для \(x < -3\) дробь положительна;
для \(-3 < x < -1\) дробь отрицательна;
для \(-1 \leq x \leq 1\) дробь равна нулю только при \(x = -1\) и \(x = 1\);
для \(1 < x < 3\) дробь отрицательна;
для \(x > 3\) дробь положительна.
Ответ: \(x \in (-\infty; -3) \cup [-1; 1] \cup (3; +\infty)\).

2) Выражение имеет смысл, если:
\(6 — |x| \geq 0 \Rightarrow |x| \leq 6 \Rightarrow -6 \leq x \leq 6\),
и \(3 — x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\).
Ответ: \(x \in [-6; 3) \cup (3; 6]\).

1)
Для выражения \(\sqrt{\frac{|x| — 1}{x^{2} — 9}}\) сначала определим область определения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(\frac{|x| — 1}{x^{2} — 9} \geq 0\).

Знаменатель не должен равняться нулю:
\(x^{2} — 9 \neq 0\), значит \(x \neq 3\) и \(x \neq -3\).

Раскроем знаменатель:
\(x^{2} — 9 = (x — 3)(x + 3)\).

Числитель:
\(|x| — 1 \geq 0 \Rightarrow |x| \geq 1 \Rightarrow x \leq -1\) или \(x \geq 1\).

Разобьём числовую ось на интервалы с точками \(-\infty, -3, -1, 1, 3, +\infty\).

Проверим знак дроби на каждом интервале:

— При \(x < -3\): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
— При \(-3 < x < -1\): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
— При \(-1 \leq x \leq 1\): числитель неотрицателен, равен нулю при \(x = -1\) и \(x = 1\), знаменатель отрицателен, дробь равна нулю только в точках \(x = -1\) и \(x = 1\).
— При \(1 < x < 3\): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
— При \(x > 3\): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.

Таким образом, область определения:
\(x \in (-\infty; -3) \cup [-1; 1] \cup (3; +\infty)\).

2)
Для выражения \(\sqrt[6]{6 — |x|} + \frac{1}{\sqrt[3]{3 — x}}\) рассмотрим условия существования каждого слагаемого.

Для \(\sqrt[6]{6 — |x|}\) подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(6 — |x| \geq 0 \Rightarrow |x| \leq 6 \Rightarrow x \in [-6; 6]\).

Для \(\frac{1}{\sqrt[3]{3 — x}}\) знаменатель не должен быть равен нулю:
\(\sqrt[3]{3 — x} \neq 0 \Rightarrow 3 — x \neq 0 \Rightarrow x \neq 3\).

Пересечение условий даёт область определения:
\(x \in [-6; 3) \cup (3; 6]\).