ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:

1) \(\sqrt{\frac{|x| — 4}{x^2 — 36}}\);

2) \(\sqrt[10]{|x| — 3} — \frac{1}{\sqrt[4]{x + 4}}\).

1) Выражение \( \sqrt[6]{\frac{|x|-4}{x^2-36}} \) имеет смысл, если \( \frac{|x|-4}{x^2-36} \geq 0 \) и \(x^2 — 36 \neq 0\). Разложим знаменатель: \(x^2 — 36 = (x+6)(x-6)\). Значит, решаем неравенство \( \frac{|x|-4}{(x+6)(x-6)} \geq 0 \).

Числитель \( |x|-4 \geq 0 \Rightarrow |x| \geq 4 \Rightarrow x \leq -4 \text{ или } x \geq 4 \).

Знаменатель не равен нулю при \(x \neq \pm 6\).

Рассмотрим интервалы:

— \(x < -6\): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.
— \(-6 < x < -4\): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
— \(-4 \leq x \leq 4\): числитель отрицателен или ноль, знаменатель отрицателен, дробь неотрицательна.
— \(4 < x < 6\): числитель положителен, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна.
— \(x > 6\): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна.

Ответ: \( x \in (-\infty, -6) \cup [-4, 4] \cup (6, +\infty) \).

2) Выражение \( \sqrt[10]{|x|-3} — \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} \) имеет смысл, если \( |x| — 3 \geq 0 \) и \( x + 4 > 0 \).

Отсюда \( |x| \geq 3 \Rightarrow x \leq -3 \text{ или } x \geq 3 \) и \( x > -4 \).

Пересечение условий: \( x \in (-4, -3] \cup [3, +\infty) \).

1) Рассмотрим выражение \( \sqrt[6]{\frac{|x|-4}{x^2-36}} \). Для того чтобы корень существовал, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \( \frac{|x|-4}{x^2-36} \geq 0 \). Также знаменатель не должен равняться нулю, значит \( x^2 — 36 \neq 0 \).

2) Разложим знаменатель: \( x^2 — 36 = (x+6)(x-6) \). Значит, нам нужно решить неравенство \( \frac{|x|-4}{(x+6)(x-6)} \geq 0 \) при условии \( x \neq \pm 6 \).

3) Рассмотрим числитель: \( |x| — 4 \geq 0 \), откуда \( |x| \geq 4 \). Значит, либо \( x \leq -4 \), либо \( x \geq 4 \).

4) Теперь рассмотрим знаки знаменателя: при \( x < -6 \) оба множителя отрицательны, произведение положительно; при \( -6 < x < 6 \) произведение отрицательно; при \( x > 6 \) произведение положительно.

5) Разобьём числовую ось на интервалы по критическим точкам \( -\infty, -6, -4, 4, 6, +\infty \). Проверим знак дроби на каждом интервале:

— На \( (-\infty, -6) \): числитель \( |x|-4 > 0 \), знаменатель \( > 0 \), дробь положительна.
— На \( (-6, -4) \): числитель \( > 0 \), знаменатель \( < 0 \), дробь отрицательна.
— На \( [-4, 4] \): числитель \( \leq 0 \), знаменатель \( < 0 \), дробь неотрицательна.
— На \( (4, 6) \): числитель \( > 0 \), знаменатель \( < 0 \), дробь отрицательна.
— На \( (6, +\infty) \): числитель \( > 0 \), знаменатель \( > 0 \), дробь положительна.

6) Исключаем точки \( x = \pm 6 \) из области определения, так как знаменатель равен нулю.

7) Итог: область определения выражения \( x \in (-\infty, -6) \cup [-4, 4] \cup (6, +\infty) \).

8) Рассмотрим выражение \( \sqrt[10]{|x|-3} — \frac{1}{\sqrt[4]{x+4}} \). Для существования первого корня нужно \( |x| — 3 \geq 0 \), то есть \( |x| \geq 3 \), что даёт \( x \leq -3 \) или \( x \geq 3 \).

9) Для существования второго корня в знаменателе нужно \( x + 4 > 0 \), то есть \( x > -4 \).

10) Пересечём условия: \( x > -4 \) и \( (x \leq -3 \text{ или } x \geq 3) \). Значит, область определения второго выражения: \( (-4, -3] \cup [3, +\infty) \).