ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \((x^2 — 4)\sqrt{x + 1} = 0\);

2) \((x — 1) \sqrt{x^2 — 2x — 3} = 0\).

1) \((x^2 — 4)\sqrt{x + 1} = 0\)

\(x^2 — 4 = 0\)
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm \sqrt{4} = \pm 2\)

Подкоренное выражение:
\(x + 1 \geq 0\)
\(x \geq -1\)

Подходит \(x = 2\) и \(x = -1\) (так как \(\sqrt{0} = 0\))

Ответ: \(-1; 2\)

2) \((x — 1) \sqrt{x^2 — 2x — 3} = 0\)

\(x — 1 = 0\)
\(x = 1\)

Подкоренное выражение:
\(x^2 — 2x — 3 \geq 0\)

Решаем квадратное уравнение:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)
\(x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1\)
\(x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3\)

Неравенство:
\((x + 1)(x — 3) \geq 0\)
\(x \leq -1\) или \(x \geq 3\)

\(x = 1\) не подходит, так как не удовлетворяет области определения.

Ответ: \(-1; 3\)

1) Рассмотрим уравнение \((x^2 — 4)\sqrt{x + 1} = 0\). Чтобы произведение было равно нулю, нужно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Рассмотрим первый множитель:
\(x^2 — 4 = 0\)
\(x^2 = 4\)
\(x = \pm \sqrt{4} = \pm 2\)

Теперь рассмотрим второй множитель:
\(\sqrt{x + 1} = 0\)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(x + 1 \geq 0\)
\(x \geq -1\)
Если корень равен нулю, то:
\(x + 1 = 0\)
\(x = -1\)

Проверим найденные значения на область определения:
\(x = 2\) подходит, так как \(2 \geq -1\)
\(x = -2\) не подходит, так как \(-2 < -1\)
\(x = -1\) подходит, так как \(x + 1 = 0\)

Ответ для первого уравнения:
\(-1; 2\)

2) Рассмотрим уравнение \((x — 1) \sqrt{x^2 — 2x — 3} = 0\). Чтобы произведение было равно нулю, нужно, чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю.

Рассмотрим первый множитель:
\(x — 1 = 0\)
\(x = 1\)

Рассмотрим второй множитель:
\(\sqrt{x^2 — 2x — 3} = 0\)
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(x^2 — 2x — 3 \geq 0\)

Решим квадратное уравнение:
\(x^2 — 2x — 3 = 0\)
Дискриминант:
\(D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)
Корни:
\(x_1 = \frac{2 — \sqrt{16}}{2} = \frac{2 — 4}{2} = -1\)
\(x_2 = \frac{2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3\)

Неравенство можно записать так:
\((x + 1)(x — 3) \geq 0\)
Решение неравенства:
\(x \leq -1\) или \(x \geq 3\)

Проверим значения:
\(x = 1\) не входит в области определения, так как \(1\) не удовлетворяет неравенству
\(x = -1\) и \(x = 3\) подходят, так как при них подкоренное выражение равно нулю

Ответ для второго уравнения:
\(-1; 3\)