ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите уравнение:

1) \((|x| — 3)^2 — x = 0\);

2) \((x + 2) \sqrt{x^2 + 2x — 3} = 0\).

1) \((|x|-3)^2 — x = 0\)

\((|x|-3)^2 = x\)

\(x \geq 0\)

Если \(x \geq 0\), то \(|x|=x\), значит

\((x-3)^2 = x\)

\(x^2 — 6x + 9 = x\)

\(x^2 — 7x + 9 = 0\)

Дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 — 36 = 13\)

Корни: \(x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}\)

Оба корня подходят.

Если \(x < 0\), решений нет.

Ответ: \(x = \frac{7 — \sqrt{13}}{2}; \frac{7 + \sqrt{13}}{2}\)

2) \((x+2)\sqrt{x^2 + 2x — 3} = 0\)

\(x+2=0\)

\(x=-2\)

\(x^2 + 2x — 3 = 0\)

Дискриминант: \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\)

Корни: \(x = \frac{-2 \pm 4}{2}\)

\(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\)

Область определения: \(x^2 + 2x — 3 \geq 0\)

\((x+3)(x-1) \geq 0\)

\(x \leq -3\) или \(x \geq 1\)

Проверяем корни:

\(x = -2\) не подходит

\(x = -3\) подходит

\(x = 1\) подходит

Ответ: \(-3; 1\)

1) Рассмотрим уравнение \((|x| — 3)^2 — x = 0\).

Перенесём \(x\) в правую часть: \((|x| — 3)^2 = x\).

Так как квадрат любого числа неотрицателен, то \((|x| — 3)^2 \geq 0\), значит \(x \geq 0\).

Рассмотрим два случая:

Если \(x \geq 0\), то \(|x| = x\). Подставим в уравнение: \((x — 3)^2 = x\).

Раскроем скобки: \(x^2 — 6x + 9 = x\).

Перенесём все в левую часть: \(x^2 — 7x + 9 = 0\).

Вычислим дискриминант: \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 9 = 49 — 36 = 13\).

Найдём корни по формуле: \(x = \frac{7 \pm \sqrt{13}}{2}\).

Проверим знаки корней: оба положительные, подходят.

Если \(x < 0\), то \(|x| = -x\). Подставим: \((-x — 3)^2 = x\).

Левая часть неотрицательна, правая — отрицательна, значит решений нет.

Ответ для первого уравнения: \(x = \frac{7 — \sqrt{13}}{2}; \frac{7 + \sqrt{13}}{2}\).

2) Рассмотрим уравнение \((x + 2) \sqrt{x^2 + 2x — 3} = 0\).

Произведение равно нулю, значит \(x + 2 = 0\) или \(\sqrt{x^2 + 2x — 3} = 0\).

Отсюда \(x = -2\) или \(x^2 + 2x — 3 = 0\).

Решим квадратное уравнение: дискриминант \(D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16\).

Корни: \(x = \frac{-2 \pm 4}{2}\), то есть \(x_1 = -3\), \(x_2 = 1\).

Проверим область определения подкоренного выражения: \(x^2 + 2x — 3 \geq 0\).

Разложим на множители: \((x + 3)(x — 1) \geq 0\).

Решение неравенства: \(x \leq -3\) или \(x \geq 1\).

Проверим корни:

\(x = -2\) не подходит, так как подкоренное выражение отрицательно.

\(x = -3\) подходит.

\(x = 1\) подходит.

Ответ для второго уравнения: \(-3; 1\).