ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(y = \sqrt[4]{x — 1} + \sqrt[4]{1 — x} + 1\);

2) \(y = \sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{1 — x}\).

1) \( y = \left(\sqrt[4]{x — 1}\right)^4 + \left(\sqrt[4]{1 — x}\right)^4 + 1 \)

Так как \(\left(\sqrt[4]{x — 1}\right)^4 = x — 1\) и \(\left(\sqrt[4]{1 — x}\right)^4 = 1 — x\), то

\( y = (x — 1) + (1 — x) + 1 = 1 \).

Область определения:

\( x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \),

\( 1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1 \),

значит \( x = 1 \).

График — точка (1; 1).

2) \( y = \left(\sqrt[6]{x}\right)^6 + \left(\sqrt[6]{1 — x}\right)^6 \)

Так как \(\left(\sqrt[6]{x}\right)^6 = x\) и \(\left(\sqrt[6]{1 — x}\right)^6 = 1 — x\), то

\( y = x + 1 — x = 1 \).

Область определения:

\( x \geq 0 \),

\( 1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1 \),

значит \( 0 \leq x \leq 1 \).

График — отрезок линии \( y = 1 \) на промежутке от 0 до 1.

1) Рассмотрим функцию \( y = \left(\sqrt[4]{x — 1}\right)^4 + \left(\sqrt[4]{1 — x}\right)^4 + 1 \).

Сначала упростим каждое слагаемое. Известно, что возведение четвертого корня в четвертую степень возвращает исходное число, если оно неотрицательно. Значит,

\( \left(\sqrt[4]{x — 1}\right)^4 = x — 1 \),

\( \left(\sqrt[4]{1 — x}\right)^4 = 1 — x \).

Подставим в выражение:

\( y = (x — 1) + (1 — x) + 1 \).

Сложим подобные:

\( x — 1 + 1 — x + 1 = 1 \).

Таким образом, функция равна 1.

Теперь найдём область определения функции. Корень четвертой степени существует только для неотрицательных чисел, значит,

\( x — 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \),

\( 1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1 \).

Обе неравенства выполняются только при \( x = 1 \).

Следовательно, функция определена только в точке \( x = 1 \), где

\( y = 1 \).

График функции — это точка с координатами (1; 1).

2) Рассмотрим функцию \( y = \left(\sqrt[6]{x}\right)^6 + \left(\sqrt[6]{1 — x}\right)^6 \).

Упростим каждое слагаемое, возводя корень шестой степени в шестую степень:

\( \left(\sqrt[6]{x}\right)^6 = x \),

\( \left(\sqrt[6]{1 — x}\right)^6 = 1 — x \).

Подставим в выражение:

\( y = x + 1 — x \).

Сложим:

\( y = 1 \).

Найдём область определения. Корень шестой степени существует для неотрицательных чисел, значит,

\( x \geq 0 \),

\( 1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1 \).

Таким образом, область определения — отрезок \( 0 \leq x \leq 1 \).

График функции — отрезок прямой \( y = 1 \) на промежутке от 0 до 1.