ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Чему равно значение выражения:

1) \(\sqrt[3]{343}\);

2) \(\sqrt[4]{\frac{58}{81}}\);

3) \(0,5\sqrt[5]{-64}\);

4) \(\sqrt[10]{4950}\)?

1) \( \sqrt[3]{343} = \sqrt[3]{7^3} = 7 \)

2) \( \sqrt[4]{\frac{58}{81}} = \sqrt[4]{\frac{7 \cdot 81 + 58}{81}} = \sqrt[4]{\frac{625}{81}} = \sqrt[4]{\frac{5^4}{3^4}} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3} \)

3) \( 0,5 \sqrt[3]{-64} = 0,5 \cdot (-4) = -2 \)

4) \( \sqrt[100]{4950} = \sqrt[100]{(7^2)^{50}} = \sqrt[100]{7^{100}} = 7 \)

1) Кубический корень из 343 определяется как такое число, которое, будучи возведено в третью степень, даёт 343. В данном случае \(7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343\), следовательно, кубический корень из 343 равен 7, то есть \( \sqrt[3]{343} = 7 \). Корень третьей степени из положительного числа всегда положителен, и для целых чисел он существует только тогда, когда само число является кубом целого числа. Здесь 343 — это именно такой случай, так как \(7^3 = 343\).

2) Для выражения \( \sqrt[4]{\frac{58}{81}} \) сначала рассмотрим числитель. По условию, его можно представить как \(7 \cdot 81 + 58 = 567 + 58 = 625\). Таким образом, выражение преобразуется к виду \( \sqrt[4]{\frac{625}{81}} \). Теперь рассмотрим разложение на степени: \(625 = 5^4\), а \(81 = 3^4\), поэтому \( \sqrt[4]{\frac{5^4}{3^4}} = \frac{5}{3} \). Это обычная дробь, которую можно записать также как \(1 \frac{2}{3}\), что соответствует смешанному числу.

3) Для вычисления \(0,5 \sqrt[3]{-64}\) сначала найдём кубический корень из отрицательного числа. Кубический корень из \(-64\) равен \(-4\), так как \((-4)^3 = -4 \cdot -4 \cdot -4 = 16 \cdot -4 = -64\). После этого умножаем результат на 0,5: \(0,5 \cdot (-4) = -2\). Таким образом, итоговое значение выражения равно \(-2\).

4) Для нахождения \( \sqrt[100]{4950} \) требуется выразить 4950 в виде степени, кратной 100. Однако, 4950 не представляется в виде \( (7^2)^{50} \), потому что \( (7^2)^{50} = 49^{50} \), а это не равно 4950. Если бы рассматривалось \( \sqrt[100]{7^{100}} \), то результат был бы 7, так как \( (7^{100})^{\frac{1}{100}} = 7 \). Но для 4950 такого разложения не существует, поэтому нельзя утверждать, что \( \sqrt[100]{4950} = 7 \). Если бы под корнем стояло \(7^{100}\), то результат был бы 7, но для числа 4950 результат не будет целым числом.