ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Постройте график функции:

1) \(y = \sqrt[3]{2 — x}\);

3) \(y = \sqrt[3]{|x|}\);

5) \(y = \sqrt[3]{|x — 1|}\);

2) \(y = \sqrt[3]{x — 2}\);

4) \(y = \sqrt[3]{|x| — 1}\);

6) \(y = \sqrt[3]{|x + 1 — 2|}\).

1) Построим график \( y = \sqrt[3]{x} \); сдвинем его на 2 единицы влево: \( y = \sqrt[3]{x+2} \); отразим относительно оси ординат: \( y = \sqrt[3]{2 — x} \).

2) Построим график \( y = \sqrt[3]{x} \); сдвинем на 2 единицы вправо: \( y = \sqrt[3]{x — 2} \); сдвинем вниз на 2 единицы: \( y = \sqrt[3]{x — 2} — 2 \).

3) Построим график \( y = \sqrt[3]{x} \); уберем часть слева от оси ординат; отразим относительно оси ординат: \( y = \sqrt[3]{|x|} \).

4) Построим график \( y = \sqrt[3]{x} \); сдвинем на 1 единицу вправо: \( y = \sqrt[3]{x — 1} \); уберем часть слева от оси ординат; отразим относительно оси ординат: \( y = \sqrt[3]{|x| — 1} \).

5) Построим график \( y = \sqrt[3]{x} \); уберем часть слева от оси ординат; отразим относительно оси ординат; сдвинем на 1 единицу вправо: \( y = \sqrt[3]{|x — 1|} \).

6) Построим график \( y = \sqrt[3]{x} \); сдвинем на 1 единицу влево: \( y = \sqrt[3]{x + 1} \); сдвинем вниз на 2 единицы: \( y = \sqrt[3]{x + 1} — 2 \); отразим часть графика под осью абсцисс; возьмем модуль: \( y = \sqrt[3]{|x + 1 — 2|} \).

1) Рассмотрим поэтапно преобразования графика функции \( y = \sqrt[3]{x} \) для получения \( y = \sqrt[3]{2 — x} \). Сначала сдвигаем исходный график на 2 единицы влево, что реализуется заменой \( x \) на \( x + 2 \), и получаем функцию \( y = \sqrt[3]{x + 2} \). Это означает, что каждая точка графика перемещается влево на 2 единицы, а значения функции для новых \( x \) соответствуют значениям исходной функции при \( x + 2 \). Следующим шагом выполняется отражение графика относительно оси ординат, что достигается заменой \( x \) на \( -x \), и функция приобретает вид \( y = \sqrt[3]{2 — x} \). Это отражение меняет направление роста графика: если исходная функция возрастала при увеличении \( x \), то новая функция убывает при увеличении \( x \).

Детализируя преобразования, заметим, что после первого сдвига все характерные точки, например, точка перегиба \((0, 0)\), перемещаются в точку \((-2, 0)\). После отражения относительно оси ординат точка \((-2, 0)\) становится точкой \((2, 0)\), то есть график симметрично меняет своё расположение относительно вертикальной оси. В результате область определения функции остаётся прежней: \( x \in \mathbb{R} \), так как кубический корень определён для всех вещественных чисел, а итоговая функция \( y = \sqrt[3]{2 — x} \) сохраняет непрерывность и всю исходную форму, но зеркально отражённую и сдвинутую.

Если рассмотреть значения функции для крайних случаев, например, при \( x \to -\infty \), то \( y \to \sqrt[3]{+\infty} \to +\infty \), а при \( x \to +\infty \) получаем \( y \to \sqrt[3]{-\infty} \to -\infty \). Это означает, что график идёт сверху вниз при движении слева направо, что противоположно направлению исходного графика \( y = \sqrt[3]{x} \).

2) Начнем с исходного графика \( y = \sqrt[3]{x} \) и выполним сдвиг на 2 единицы вправо, заменяя переменную \( x \) на \( x — 2 \). Получаем новую функцию \( y = \sqrt[3]{x — 2} \), что приводит к перемещению всех точек графика на 2 единицы вправо. Например, точка перегиба \((0, 0)\) смещается в точку \((2, 0)\). Следующим шагом является сдвиг графика вниз на 2 единицы, что достигается вычитанием 2 из функции: \( y = \sqrt[3]{x — 2} — 2 \). Это изменение влияет на все значения функции, уменьшая их на 2.

Подробно, сдвиг вправо реализует горизонтальное перемещение: для любого значения \( x \), значение функции теперь соответствует тому, что было при \( x — 2 \) в исходном графике. Вертикальный сдвиг вниз на 2 изменяет положение графика относительно оси абсцисс, понижая все значения на 2. В результате точка перегиба теперь находится в точке \((2, -2)\), и график сохраняет свою форму, но опущен ниже относительно исходной позиции.

Область определения функции остаётся неизменной: кубический корень определён при всех \( x \in \mathbb{R} \). Итоговая функция \( y = \sqrt[3]{x — 2} — 2 \) сохраняет непрерывность, а её график представляет собой исходный график, сдвинутый вправо и вниз, что визуально легко проследить по характерным точкам и поведению функции при больших положительных и отрицательных значениях \( x \).

3) Для построения графика функции \( y = \sqrt[3]{|x|} \) исходным является график \( y = \sqrt[3]{x} \). Преобразование связано с применением модуля к переменной \( x \), что означает, что для всех отрицательных значений \( x \) используется положительное значение аргумента. Это приводит к тому, что часть графика для \( x < 0 \) удаляется, а вместо неё отображается зеркальное отражение части графика для \( x \geq 0 \) относительно оси ординат.

Более детально, если рассматривать исходную функцию, то для \( x \geq 0 \) значения остаются прежними: \( y = \sqrt[3]{x} \). Для \( x < 0 \) вместо \( y = \sqrt[3]{x} \) берётся \( y = \sqrt[3]{-x} \), что соответствует отражению графика правой части относительно оси ординат. Таким образом, получаем симметричный график относительно оси ординат, а все точки для \( x < 0 \) совпадают по значениям с точками для \( x > 0 \), но расположены зеркально.

График функции \( y = \sqrt[3]{|x|} \) имеет точку перегиба в начале координат \((0, 0)\), а его область определения остаётся \( x \in \mathbb{R} \). Значения функции возрастают как при увеличении \( x \), так и при уменьшении \( x \) в отрицательную сторону, поскольку модуль обеспечивает положительный аргумент для кубического корня.