ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что является иррациональным число:

1) \(\sqrt{2}\);

2) \(\sqrt{6}\).

1) Предположим, что \(\sqrt[3]{2} = \frac{m}{n}\), где дробь несократимая, \(m, n \in \mathbb{Z}\). Тогда \(2 = \frac{m^3}{n^3}\), откуда \(2 n^3 = m^3\). Значит \(m^3\) делится на 2, тогда \(m = 2k\). Подставляем: \(2 n^3 = (2k)^3 = 8 k^3\), значит \(n^3 = 4 k^3\), откуда \(n\) делится на 2. Получили, что и \(m\), и \(n\) делятся на 2 — противоречие с несократимостью. Значит \(\sqrt[3]{2}\) иррационально.

2) Предположим, что \(\sqrt[6]{6} = \frac{m}{n}\), где дробь несократимая, \(m, n \in \mathbb{Z}\). Тогда \(6 = \frac{m^6}{n^6}\), откуда \(6 n^6 = m^6\). Значит \(m^6\) делится на 6, тогда \(m = 6k\). Подставляем: \(6 n^6 = (6k)^6 = 6^6 k^6\), значит \(n^6 = 6^5 k^6\), откуда \(n\) делится на 6. Получили, что и \(m\), и \(n\) делятся на 6 — противоречие с несократимостью. Значит \(\sqrt[6]{6}\) иррационально.

1) Предположим, что число \(\sqrt[3]{2}\) рационально. Значит его можно записать в виде несократимой дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m, n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq 0\), и у дроби нет общих делителей, кроме 1. Тогда по определению корня имеем равенство \( \sqrt[3]{2} = \frac{m}{n} \).

2) Возведём обе части равенства в третью степень: \(2 = \left( \frac{m}{n} \right)^3 = \frac{m^3}{n^3}\). Отсюда следует, что \(2 n^3 = m^3\).

3) Из равенства \(2 n^3 = m^3\) видно, что \(m^3\) делится на 2. Поскольку 2 — простое число, то и \(m\) делится на 2. Обозначим \(m = 2k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

4) Подставим \(m = 2k\) в равенство: \(2 n^3 = (2k)^3 = 8 k^3\). Тогда \(2 n^3 = 8 k^3\), отсюда \(n^3 = 4 k^3\).

5) Из равенства \(n^3 = 4 k^3\) следует, что \(n^3\) делится на 2, значит и \(n\) делится на 2.

6) Мы получили, что и \(m\), и \(n\) делятся на 2, что противоречит предположению о несократимости дроби \(\frac{m}{n}\). Значит наше изначальное предположение неверно, и число \(\sqrt[3]{2}\) иррационально.

7) Предположим, что число \(\sqrt[6]{6}\) рационально. Значит его можно записать в виде несократимой дроби \(\frac{m}{n}\), где \(m, n \in \mathbb{Z}\), \(n \neq 0\), и у дроби нет общих делителей, кроме 1. Тогда \( \sqrt[6]{6} = \frac{m}{n} \).

8) Возведём обе части равенства в шестую степень: \(6 = \left( \frac{m}{n} \right)^6 = \frac{m^6}{n^6}\). Отсюда следует, что \(6 n^6 = m^6\).

9) Из равенства \(6 n^6 = m^6\) видно, что \(m^6\) делится на 6. Так как 6 — произведение простых чисел 2 и 3, то \(m\) делится на 2 и на 3, то есть на 6. Обозначим \(m = 6k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

10) Подставим \(m = 6k\) в равенство: \(6 n^6 = (6k)^6 = 6^6 k^6\). Тогда \(6 n^6 = 6^6 k^6\), откуда \(n^6 = 6^5 k^6\). Значит \(n^6\) делится на 6, а значит и \(n\) делится на 6.

11) Мы получили, что и \(m\), и \(n\) делятся на 6, что противоречит предположению о несократимости дроби \(\frac{m}{n}\). Значит наше изначальное предположение неверно, и число \(\sqrt[6]{6}\) иррационально.