ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что является иррациональным число:

1) \(\sqrt[3]{7}\);

2) \(\sqrt[4]{12}\).

1) Пусть \(\sqrt[3]{7} = \frac{m}{n}\), где дробь несократима, \(m, n \in \mathbb{Z}\). Тогда \(7 = \frac{m^3}{n^3}\), значит \(7 n^3 = m^3\). Значит \(m^3\) делится на 7, значит и \(m\) делится на 7, пусть \(m = 7k\). Тогда \(7 n^3 = (7k)^3 = 343 k^3\), откуда \(n^3 = 49 k^3\). Значит \(n^3\) делится на 7, значит и \(n\) делится на 7. Получили противоречие с несократимостью дроби. Значит \(\sqrt[3]{7}\) иррационально.

2) Пусть \(\sqrt[4]{12} = \frac{m}{n}\), где дробь несократима, \(m, n \in \mathbb{Z}\). Тогда \(12 = \frac{m^4}{n^4}\), значит \(12 n^4 = m^4\). Значит \(m^4\) делится на 6, значит и \(m\) делится на 6, пусть \(m = 6k\). Тогда \(12 n^4 = (6k)^4 = 1296 k^4\), откуда \(n^4 = 108 k^4\). Значит \(n^4\) делится на 6, значит и \(n\) делится на 6. Получили противоречие с несократимостью дроби. Значит \(\sqrt[4]{12}\) иррационально.

1) Пусть \(\sqrt[3]{7} = \frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) — целые числа, \(n \neq 0\), и дробь несократима. Это значит, что у \(m\) и \(n\) нет общих делителей кроме 1.

2) Возведём обе части равенства в куб: \(7 = \left(\frac{m}{n}\right)^3 = \frac{m^3}{n^3}\).

3) Умножим обе части на \(n^3\): \(7 n^3 = m^3\).

4) Из этого следует, что \(m^3\) делится на 7. Так как 7 — простое число, то и \(m\) делится на 7. Пусть \(m = 7k\), где \(k\) — целое число.

5) Подставим \(m = 7k\) в уравнение: \(7 n^3 = (7k)^3 = 343 k^3\).

6) Разделим обе части на 7: \(n^3 = 49 k^3\).

7) Значит, \(n^3\) делится на 7, а значит и \(n\) делится на 7.

8) Получили, что и \(m\), и \(n\) делятся на 7, что противоречит предположению о несократимости дроби.

9) Следовательно, наше предположение, что \(\sqrt[3]{7}\) рационально, неверно. Значит \(\sqrt[3]{7}\) — иррациональное число.

10) Аналогично для \(\sqrt[4]{12}\):

Пусть \(\sqrt[4]{12} = \frac{m}{n}\), где \(m\) и \(n\) — целые числа, \(n \neq 0\), и дробь несократима.

Возведём обе части в четвёртую степень: \(12 = \left(\frac{m}{n}\right)^4 = \frac{m^4}{n^4}\).

Умножим обе части на \(n^4\): \(12 n^4 = m^4\).

Из этого следует, что \(m^4\) делится на 12. Так как \(12 = 2^2 \cdot 3\), то \(m\) делится на 2 и на 3, то есть на 6. Пусть \(m = 6k\), где \(k\) — целое число.

Подставим \(m = 6k\) в уравнение: \(12 n^4 = (6k)^4 = 1296 k^4\).

Разделим обе части на 12: \(n^4 = 108 k^4\).

Значит, \(n^4\) делится на 12, а значит и \(n\) делится на 6.

Получили, что и \(m\), и \(n\) делятся на 6, что противоречит предположению о несократимости дроби.

Следовательно, \(\sqrt[4]{12}\) — иррациональное число.