ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В зависимости от значения параметра \(a\) определите количество корней уравнения:

1) \((x — a) \sqrt{x + 1} = 0\);

3) \((x — a)(\sqrt{x} — 1) = 0\);

2) \((x — a)(\sqrt{x} + 1) = 0\).

1) \((x — a) \sqrt[4]{x + 1} = 0\);
\(x_1 = a\), \(x_2 = -1\);
Решения совпадают: \(a = -1\);
Область определения: \(x + 1 \geq 0\), \(x \geq -1\);
Ответ: если \(a \leq -1\), то один корень; если \(a > -1\), то два корня.

2) \((x — a)(\sqrt[4]{x} + 1) = 0\);
\(x — a = 0\), \(x = a\);
Область определения: \(x \geq 0\);
Ответ: если \(a < 0\), то корней нет; если \(a \geq 0\), то один корень.

3) \((x — a)(\sqrt[4]{x} — 1) = 0\);
\(x_1 = a\), \(x_2 = 1\);
Решения совпадают: \(a = 1\);
Область определения: \(x \geq 0\);
Ответ: если \(a < 0\) или \(a = 1\), то один корень; если \(0 < a < 1\) или \(a > 1\), то два корня.

1) Уравнение \((x — a) \sqrt[4]{x + 1} = 0\) равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \(x — a = 0\), либо \(\sqrt[4]{x + 1} = 0\). Отсюда находим корни: \(x_1 = a\) и \(x_2 = -1\).

Область определения уравнения задаётся условием подкоренного выражения: \(x + 1 \geq 0\), значит \(x \geq -1\). Корень \(x_2 = -1\) всегда лежит в области определения.

Корень \(x_1 = a\) будет решением уравнения, если \(a \geq -1\), иначе он не принадлежит области определения.

Если \(a = -1\), то корни совпадают: \(x_1 = x_2 = -1\), значит один корень.

Если \(a > -1\), корни разные и оба принадлежат области определения, значит два корня.

Если \(a < -1\), корень \(x_1 = a\) не лежит в области определения, остаётся только \(x_2 = -1\), значит один корень.

Ответ: если \(a \leq -1\), один корень; если \(a > -1\), два корня.

2) Уравнение \((x — a)(\sqrt[4]{x} + 1) = 0\) равно нулю, если \(x — a = 0\) или \(\sqrt[4]{x} + 1 = 0\).

Корень из четвёртой степени не может быть отрицательным, поэтому уравнение \(\sqrt[4]{x} + 1 = 0\) не имеет решений.

Значит, единственный возможный корень — \(x = a\).

Область определения: подкоренное выражение \(\sqrt[4]{x}\) определено при \(x \geq 0\).

Поэтому корень \(x = a\) существует, если \(a \geq 0\).

Если \(a < 0\), корней нет.

Ответ: если \(a < 0\), корней нет; если \(a \geq 0\), один корень.

3) Уравнение \((x — a)(\sqrt[4]{x} — 1) = 0\) равно нулю, если \(x — a = 0\) или \(\sqrt[4]{x} — 1 = 0\).

Отсюда корни: \(x_1 = a\), \(x_2 = 1\).

Область определения: \(x \geq 0\).

Если \(a < 0\), то \(x_1 = a\) не принадлежит области определения, остаётся только \(x_2 = 1\), значит один корень.

Если \(a = 1\), корни совпадают, один корень.

Если \(0 \leq a < 1\), оба корня лежат в области определения и различны, значит два корня.

Если \(a > 1\), оба корня тоже в области определения и различны, значит два корня.

Ответ: если \(a < 0\) или \(a = 1\), один корень; если \(0 < a < 1\) или \(a > 1\), два корня.