ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В зависимости от значения параметра \(a\) определите количество корней уравнения:

1) \((x + 1)\sqrt{x — a} = 0\);

2) \((x — 1)(\sqrt{x — a}) = 0\).

1) Уравнение \((x + 1)\sqrt{x — a} = 0\).

Корни: \(x_1 = -1\), \(x_2 = a\).

Область определения: \(x — a \geq 0 \Rightarrow x \geq a\).

Проверяем корни на принадлежность области определения:

\(x_1 = -1 \geq a\) значит \(a \leq -1\).

Если \(a = -1\), корни совпадают.

Ответ: если \(a \geq -1\), то один корень; если \(a < -1\), то два корня.

2) Уравнение \((x — 1)(\sqrt[4]{x — a}) = 0\).

Корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = a\).

Область определения: \(x — a \geq 0 \Rightarrow x \geq a\).

Проверяем корни:

\(x_1 = 1 \geq a\) значит \(a \leq 1\).

Если \(a = 1\), корни совпадают.

Ответ: если \(a < 0\) или \(a = 1\), то один корень; если \(a \geq 0\) и \(a \neq 1\), то два корня.

1) Рассмотрим уравнение \((x + 1)\sqrt{x — a} = 0\).

Для того чтобы произведение было равно нулю, достаточно чтобы хотя бы один из множителей был равен нулю. Значит, решаем уравнения:
\(x + 1 = 0\) и \(\sqrt{x — a} = 0\).

Отсюда получаем корни:
\(x_1 = -1\) и \(x_2 = a\).

Проверим область определения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
\(x — a \geq 0\), значит \(x \geq a\).

Теперь проверим, какие корни принадлежат области определения.

Для \(x_1 = -1\) условие \(x_1 \geq a\) означает \(-1 \geq a\), то есть \(a \leq -1\).

Для \(x_2 = a\) условие \(x_2 \geq a\) всегда верно.

Если \(a = -1\), то корни совпадают: \(x_1 = x_2 = -1\).

Итог: если \(a \geq -1\), то корень \(x_1 = -1\) не принадлежит области определения, остается только корень \(x_2 = a\) — один корень. Если \(a < -1\), оба корня принадлежат области определения — два корня.

2) Рассмотрим уравнение \((x — 1)\sqrt[4]{x — a} = 0\).

Для произведения равного нулю достаточно, чтобы хотя бы один из сомножителей был равен нулю. Решаем уравнения:
\(x — 1 = 0\) и \(\sqrt[4]{x — a} = 0\).

Отсюда корни:
\(x_1 = 1\) и \(x_2 = a\).

Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, так как корень четвертой степени — четная степень. Значит:
\(x — a \geq 0\), то есть \(x \geq a\).

Проверим, какие корни удовлетворяют области определения.

Для \(x_1 = 1\) условие \(1 \geq a\) означает \(a \leq 1\).

Для \(x_2 = a\) условие \(a \geq a\) всегда верно.

Если \(a = 1\), корни совпадают: \(x_1 = x_2 = 1\).

Также учтем, что корень четной степени из отрицательного числа не существует в действительных числах, значит если \(a < 0\), корень \(x_2 = a\) не существует.

Итог: если \(a < 0\), существует только корень \(x_1 = 1\). Если \(a = 1\), корни совпадают — один корень. Если \(a > 0\) и \(a \neq 1\), оба корня принадлежат области определения — два корня.