ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сколько корней имеет уравнение \(\sqrt{x} = a — x\) в зависимости от значения параметра \(a\)?

Дано уравнение \( \sqrt[3]{x} = a — x \), перепишем его как \( \sqrt[3]{x} + x = a \). Рассмотрим функцию \( f(x) = \sqrt[3]{x} + x \). Найдём её производную: \( f'(x) = \frac{1}{3x^{2/3}} + 1 \). Производная положительна при всех \( x \in \mathbb{R} \), значит функция возрастает на всей числовой оси. Следовательно, уравнение \( f(x) = a \) имеет ровно одно решение при любом значении параметра \( a \). Ответ: один корень.

1. Дано уравнение \( \sqrt[3]{x} = a — x \). Перенесём все в одну сторону: \( \sqrt[3]{x} + x = a \).

2. Обозначим функцию \( f(x) = \sqrt[3]{x} + x \). Нам нужно решить уравнение \( f(x) = a \).

3. Найдём производную функции \( f(x) \). По формуле производной кубического корня: \( \frac{d}{dx} \sqrt[3]{x} = \frac{1}{3x^{2/3}} \), значит \( f'(x) = \frac{1}{3x^{2/3}} + 1 \).

4. Рассмотрим знак производной. При \( x \neq 0 \) значение \( \frac{1}{3x^{2/3}} \) всегда положительно, так как степень \( 2/3 \) даёт положительное число, а 1 положительно. Значит \( f'(x) > 0 \) при всех \( x \neq 0 \).

5. При \( x = 0 \) производная не определена, но функция \( f(x) \) непрерывна и монотонна в окрестности нуля.

6. Следовательно, функция \( f(x) \) строго возрастает на всей числовой оси.

7. Так как \( f(x) \) строго возрастает, уравнение \( f(x) = a \) не может иметь более одного корня.

8. Значит, для любого значения параметра \( a \) уравнение имеет ровно один корень.

9. Проверим область значений функции. При \( x \to -\infty \), \( \sqrt[3]{x} \to -\infty \), \( x \to -\infty \), значит \( f(x) \to -\infty \). При \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \).

10. Таким образом, функция принимает все значения от \( -\infty \) до \( +\infty \), поэтому для любого \( a \in \mathbb{R} \) существует единственное решение уравнения.