ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите объединение множеств \(A\) и \(B\), если \(A = \{x \mid x = 4n, n \in \mathbb{Z}\}\), \(B = \{x \mid x = 4n + 2, n \in \mathbb{Z}\}\).

Множество \(A = \{x \mid x = 4n, n \in \mathbb{Z}\}\) — это все числа, которые делятся на 4 без остатка.

Множество \(B = \{x \mid x = 4n + 2, n \in \mathbb{Z}\}\) — это все числа, которые при делении на 4 дают остаток 2.

Объединение \(A \cup B\) — это все числа, которые либо делятся на 4, либо при делении на 4 дают остаток 2.

Такие числа делятся на 2 без остатка, то есть

\(A \cup B = \{x \mid x = 2n, n \in \mathbb{Z}\}\).

1. Дано множество \(A = \{x \mid x = 4n, n \in \mathbb{Z}\}\). Это значит, что все элементы множества \(A\) — это числа, которые делятся на 4 без остатка.

2. Дано множество \(B = \{x \mid x = 4n + 2, n \in \mathbb{Z}\}\). Это значит, что все элементы множества \(B\) — это числа, которые при делении на 4 дают остаток 2.

3. Нужно найти объединение множеств \(A\) и \(B\), то есть все числа, которые принадлежат либо \(A\), либо \(B\).

4. Запишем элементы объединения: \(x \in A \cup B\) если \(x = 4n\) или \(x = 4n + 2\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

5. Рассмотрим числа вида \(4n\). Они делятся на 4, значит, делятся на 2, то есть они чётные.

6. Рассмотрим числа вида \(4n + 2\). Если вычесть 2, останется число, кратное 4, значит, \(4n + 2\) — тоже чётные числа, так как \(4n + 2 = 2(2n + 1)\).

7. Таким образом, и элементы из \(A\), и элементы из \(B\) — чётные числа.

8. Все чётные числа можно записать в виде \(2m\), где \(m \in \mathbb{Z}\).

9. Следовательно, объединение множеств \(A\) и \(B\) — это множество всех чётных чисел, то есть

10. \(A \cup B = \{x \mid x = 2n, n \in \mathbb{Z}\}\).