ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение \(\left(\frac{x^2 — y}{x — y}\right) \left(x + \frac{y^2}{x + y}\right)^{-1}\).

Упростим выражение:

\(\left(\frac{x^2}{x — y} — y\right) \cdot \left(x + \frac{y^2}{x + y}\right)^{-1}\)

Сначала приведём первую часть к общему знаменателю:

\(\frac{x^2}{x — y} — y = \frac{x^2 — y(x — y)}{x — y} = \frac{x^2 — xy + y^2}{x — y}\)

Вторая часть:

\(x + \frac{y^2}{x + y} = \frac{x(x + y) + y^2}{x + y} = \frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}\)

Обратное значение второй части:

\(\left(x + \frac{y^2}{x + y}\right)^{-1} = \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2}\)

Теперь перемножим:

\(\frac{x^2 — xy + y^2}{x — y} \cdot \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} = \frac{(x^2 — xy + y^2)(x + y)}{(x — y)(x^2 + xy + y^2)}\)

Используем формулы суммы и разности кубов:

\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\)

\(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\)

Подставляем:

\(\frac{x^3 + y^3}{x^3 — y^3}\)

Рассмотрим исходное выражение: \(\left(\frac{x^2}{x — y} — y\right) \cdot \left(x + \frac{y^2}{x + y}\right)^{-1}\). Для начала обратим внимание на первую скобку. Чтобы привести её к общему знаменателю, представим \(y\) как дробь с тем же знаменателем: \(\frac{x^2}{x — y} — y = \frac{x^2}{x — y} — \frac{y(x — y)}{x — y}\). Теперь числители можно объединить: \(x^2 — y(x — y)\). Раскрываем скобки в произведении: \(y(x — y) = xy — y^2\), поэтому \(x^2 — xy + y^2\). В результате первая часть выражения становится \(\frac{x^2 — xy + y^2}{x — y}\).

Перейдём ко второй части. Здесь требуется упростить выражение \(x + \frac{y^2}{x + y}\). Приведём его к общему знаменателю: \(\frac{x(x + y)}{x + y} + \frac{y^2}{x + y} = \frac{x(x + y) + y^2}{x + y}\). Раскроем скобки в числителе: \(x(x + y) = x^2 + xy\), поэтому числитель равен \(x^2 + xy + y^2\). Таким образом, получаем \(\frac{x^2 + xy + y^2}{x + y}\). Требуется взять обратное значение этой дроби, то есть \(\left(x + \frac{y^2}{x + y}\right)^{-1} = \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2}\).

Теперь перемножим обе части: \(\frac{x^2 — xy + y^2}{x — y} \cdot \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2}\). Перемножая числители и знаменатели, получаем \(\frac{(x^2 — xy + y^2)(x + y)}{(x — y)(x^2 + xy + y^2)}\). На этом этапе важно заметить, что выражения в числителе и знаменателе похожи на формулы суммы и разности кубов. В частности, \(x^2 — xy + y^2\) встречается в формуле суммы кубов \(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), а \(x^2 + xy + y^2\) — в формуле разности кубов \(x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\).

Подставляем эти формулы: числитель \((x^2 — xy + y^2)(x + y) = x^3 + y^3\), а знаменатель \((x — y)(x^2 + xy + y^2) = x^3 — y^3\). В результате исходное выражение упрощается до \(\frac{x^3 + y^3}{x^3 — y^3}\). Это финальный ответ, который показывает, что исходное сложное выражение сводится к простой дроби, где числитель — сумма кубов переменных, а знаменатель — их разность кубов.