ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.4 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:

1) \(\left(\sqrt[8]{18}\right)^8\);

3) \(\left(-\sqrt[11]{6}\right)^6\);

5) \(\left(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45}\right)^3\);

2) \(\left(-\sqrt[9]{9}\right)^9\);

4) \(\left(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45}\right)^3\);

6) \(\left(-2\sqrt{-5}\right)^5\).

1) \(\left(\sqrt[8]{18}\right)^8 = 18^{\frac{1}{8} \cdot 8} = 18^1 = 18\)

2) \(\left(-\sqrt[9]{9}\right)^9 = (-1)^9 \cdot \left(9^{\frac{1}{9}}\right)^9 = -1 \cdot 9^{\frac{9}{9}} = -1 \cdot 9 = -9\)

3) \(\left(-\sqrt[6]{11}\right)^6 = (-1)^6 \cdot \left(11^{\frac{1}{6}}\right)^6 = 1 \cdot 11^{\frac{6}{6}} = 11\)

4) \(\left(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45}\right)^3 = \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(45^{\frac{1}{3}}\right)^3 = \frac{1}{27} \cdot 45^{\frac{3}{3}} = \frac{1}{27} \cdot 45 = \frac{45}{27} = \frac{5}{3} = 1 \frac{2}{3}\)

5) \(\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{45^3} = \frac{1}{3} \cdot 45^{\frac{3}{3}} = \frac{1}{3} \cdot 45 = 15\)

6) \(\left(-2\sqrt[5]{-5}\right)^5 = (-2)^5 \cdot \left(\sqrt[5]{-5}\right)^5 = (-2)^5 \cdot (-5) = (-32) \cdot (-5) = 160\)

1) Рассмотрим выражение \(\left(\sqrt[8]{18}\right)^8\). Корень восьмой степени из числа 18 записывается как \(18^{\frac{1}{8}}\). Когда мы возводим это выражение в степень 8, степень и корень взаимно сокращаются, потому что умножение степеней с одинаковым основанием происходит по правилу \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}\). В нашем случае это будет \(18^{\frac{1}{8} \cdot 8} = 18^1\). Таким образом, результат равен просто 18.

2) Рассмотрим выражение \(\left(-\sqrt[9]{9}\right)^9\). Сначала разберёмся с корнем девятой степени из 9, который равен \(9^{\frac{1}{9}}\). Поскольку перед корнем стоит минус, возводя в нечетную степень 9, мы сохраняем знак минуса, так как \((-1)^9 = -1\). Значит, выражение можно переписать как \((-1)^9 \cdot \left(9^{\frac{1}{9}}\right)^9\). Возведение \(9^{\frac{1}{9}}\) в степень 9 даёт \(9^{\frac{9}{9}} = 9^1 = 9\). Умножая на \(-1\), получаем \(-9\).

3) Теперь рассмотрим \(\left(-\sqrt[6]{11}\right)^6\). Корень шестой степени из 11 равен \(11^{\frac{1}{6}}\). При возведении в степень 6, степени перемножаются: \(11^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 11^1 = 11\). Минус в скобках возводится в четную степень 6, и \((-1)^6 = 1\), поэтому знак минуса исчезает. Итоговое значение равно 11.

4) Рассмотрим выражение \(\left(\frac{1}{3}\sqrt[3]{45}\right)^3\). Сначала разложим на части: \(\left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(45^{\frac{1}{3}}\right)^3\). Возведение дроби \(\frac{1}{3}\) в куб даёт \(\frac{1}{27}\). Возведение корня кубического из 45 в куб даёт просто 45, так как степени сокращаются: \(45^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 45^1 = 45\). Перемножая, получаем \(\frac{1}{27} \cdot 45 = \frac{45}{27}\). Сокращая дробь, делим числитель и знаменатель на 9: \(\frac{5}{3}\). Это смешанное число \(1 \frac{2}{3}\).

5) В выражении \(\frac{1}{3} \cdot \sqrt[3]{45^3}\) сначала вычисляем корень кубический из \(45^3\). По свойству степеней, корень и степень взаимно сокращаются: \(45^{\frac{3}{3}} = 45\). Теперь умножаем на \(\frac{1}{3}\), получая \(\frac{1}{3} \cdot 45 = 15\).

6) Рассмотрим \(\left(-2\sqrt[5]{-5}\right)^5\). Сначала распишем как произведение: \((-2)^5 \cdot \left(\sqrt[5]{-5}\right)^5\). Возведение \(-2\) в пятую степень даёт \((-2)^5 = -32\), так как степень нечетная, знак сохраняется. Корень пятой степени из \(-5\) равен \((-5)^{\frac{1}{5}}\), а возведение в пятую степень даёт \((-5)^{\frac{5}{5}} = -5\). Перемножая, получаем \(-32 \cdot (-5) = 160\). Поэтому итоговый ответ равен 160.