ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:

1) \(\sqrt[3]{x-1}\);

2) \(\sqrt[4]{x^2 — x — 2}\);

3) \(\sqrt[4]{|x| — 1}\);

4) \(\sqrt[6]{x^2(x — 3)}\).

1) \(\sqrt[3]{x — 1}\) имеет смысл при \(x — 1 \in \mathbb{R}\), то есть при любом \(x \in \mathbb{R}\). Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\).

2) \(\sqrt[4]{x^2 — x — 2}\) имеет смысл при \(x^2 — x — 2 \geq 0\). Решаем уравнение \(x^2 — x — 2 = 0\): дискриминант \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 9\), корни \(x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\). Значит, \((x + 1)(x — 2) \geq 0\), то есть \(x \leq -1\) или \(x \geq 2\). Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\).

3) \(\sqrt[4]{|x| — 1}\) имеет смысл при \(|x| — 1 \geq 0\), то есть \(|x| \geq 1\). Значит, \(x \leq -1\) или \(x \geq 1\). Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\).

4) \(\sqrt[6]{x^2(x — 3)}\) имеет смысл при \(x^2(x — 3) \geq 0\). Так как \(x^2 \geq 0\) всегда, то условие сводится к \(x — 3 \geq 0\) или \(x = 0\). Получаем \(x \geq 3\) или \(x = 0\). Ответ: \(x \in \{0\} \cup [3; +\infty)\).

1) Рассмотрим выражение \(\sqrt[3]{x — 1}\). Кубический корень определён для всех чисел, так как можно извлекать корень нечётной степени из любого числа. Значит, \(x — 1\) может принимать любые значения, то есть \(x \in (-\infty; +\infty)\).

2) Рассмотрим выражение \(\sqrt[4]{x^2 — x — 2}\). Четвёртый корень существует только если подкоренное выражение неотрицательно: \(x^2 — x — 2 \geq 0\). Решим квадратное неравенство. Сначала найдём корни уравнения \(x^2 — x — 2 = 0\). Дискриминант \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). Корни: \(x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, значит неравенство \(x^2 — x — 2 \geq 0\) выполняется при \(x \leq -1\) или \(x \geq 2\). Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)\).

3) Рассмотрим выражение \(\sqrt[4]{|x| — 1}\). Четвёртый корень существует, если \(|x| — 1 \geq 0\). Значит, \(|x| \geq 1\). Это равносильно тому, что \(x \leq -1\) или \(x \geq 1\). Ответ: \(x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)\).

4) Рассмотрим выражение \(\sqrt[6]{x^2(x — 3)}\). Шестой корень существует, если подкоренное выражение неотрицательно: \(x^2(x — 3) \geq 0\). Так как \(x^2 \geq 0\) всегда, знак выражения зависит от \(x — 3\). Значит, нужно \(x — 3 \geq 0\) или \(x = 0\) (потому что при \(x=0\) выражение равно нулю, что допустимо). Получаем \(x \geq 3\) или \(x = 0\). Ответ: \(x \in \{0\} \cup [3; +\infty)\).