ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 21.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите область определения выражения:

1) \(\sqrt[4]{x-2}\);

2) \(\sqrt[2]{x^2 — 4x + 3}\);

3) \(\sqrt[3]{- |x|}\);

4) \(\sqrt[10]{|x|(x-6)}\).

1) \( \sqrt[4]{x-2} \)
\( x — 2 \geq 0 \)
\( x \geq 2 \)
Ответ: \( x \in [2; +\infty) \)

2) \( \sqrt[2]{x^2 — 4x + 3} \)
\( x^2 — 4x + 3 \geq 0 \)
\( D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \)
\( x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)
\( (x — 1)(x — 3) \geq 0 \)
\( x \leq 1 \) или \( x \geq 3 \)
Ответ: \( x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty) \)

3) \( \sqrt[3]{3 — |x|} \)
\( 3 — |x| \geq 0 \)
\( |x| \leq 3 \)
\( -3 \leq x \leq 3 \)
Ответ: \( x \in [-3; 3] \)

4) \( \sqrt[10]{|x|(x — 6)} \)
\( |x|(x — 6) \geq 0 \)
Если \( x \geq 0 \), то \( x(x — 6) \geq 0 \Rightarrow x \geq 6 \) или \( x = 0 \)
Если \( x < 0 \), неравенство не выполняется
Ответ: \( x \in \{0\} \cup [6; +\infty) \)

1) Рассмотрим выражение \( \sqrt[4]{x — 2} \). Корень четной степени определён, если подкоренное выражение неотрицательно. Значит, нужно решить неравенство \( x — 2 \geq 0 \). Отсюда следует, что \( x \geq 2 \). Значит, область определения: \( x \in [2; +\infty) \).

2) Рассмотрим выражение \( \sqrt{x^2 — 4x + 3} \). Корень квадратный определён, если подкоренное выражение неотрицательно. Решим неравенство \( x^2 — 4x + 3 \geq 0 \). Найдём дискриминант: \( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \). Корни уравнения: \( x_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \), \( x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \). Парабола направлена вверх, значит неравенство выполняется на промежутках \( (-\infty; 1] \) и \( [3; +\infty) \). Значит, область определения: \( x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty) \).

3) Рассмотрим выражение \( \sqrt[3]{3 — |x|} \). Корень кубический существует для всех чисел, но подкоренное выражение должно быть определено и неотрицательно. Решим неравенство \( 3 — |x| \geq 0 \). Значит \( |x| \leq 3 \), что даёт \( -3 \leq x \leq 3 \). Значит, область определения: \( x \in [-3; 3] \).

4) Рассмотрим выражение \( \sqrt[10]{|x|(x — 6)} \). Корень четной степени определён, если подкоренное выражение неотрицательно. Значит нужно решить \( |x|(x — 6) \geq 0 \). Рассмотрим два случая: если \( x \geq 0 \), то \( |x| = x \), и неравенство становится \( x(x — 6) \geq 0 \), что даёт \( x \geq 6 \) или \( x = 0 \). Если \( x < 0 \), то \( |x| = -x \), и неравенство становится \( (-x)(x — 6) \geq 0 \), что равносильно \( -x^2 + 6x \geq 0 \) или \( x^2 — 6x \leq 0 \). Решая \( x(x — 6) \leq 0 \), получаем \( x \in [0; 6] \), но так как \( x < 0 \), этот промежуток не подходит. Значит, из второго случая решений нет. Итог: область определения \( x \in \{0\} \cup [6; +\infty) \).