ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.1 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите:

1) \(\sqrt{64} — 125\);

2) \(\sqrt[5]{210} \cdot 7^5\);

3) \(\sqrt[3]{318} \cdot 10^{24}\);

4) \(\sqrt[4]{\frac{312 \cdot 114}{58 \cdot 216}}\).

1) \( \sqrt[3]{64 \cdot 125} = \sqrt[3]{4^3 \cdot 5^3} = 4 \cdot 5 = 20 \)

2) \( \sqrt[5]{2^{10} \cdot 7^5} = \sqrt[5]{(2^2)^5 \cdot 7^5} = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28 \)

3) \( \sqrt[6]{3^{18} \cdot 10^{24}} = \sqrt[6]{(3^3)^6 \cdot (10^4)^6} = 3^3 \cdot 10^4 = 27 \cdot 10^4 = 270000 \)

4) \( \sqrt[4]{\frac{3^{12} \cdot 11^4}{5^8 \cdot 2^{16}}} = \sqrt[4]{\frac{(3^3)^4 \cdot 11^4}{(5^2)^4 \cdot (2^4)^4}} = \frac{3^3 \cdot 11}{5^2 \cdot 2^4} = \frac{27 \cdot 11}{25 \cdot 16} = \frac{297}{400} \)

1) Сначала разложим числа под корнем на степени. \(64 = 4^3\), потому что \(4 \cdot 4 \cdot 4 = 64\). Аналогично, \(125 = 5^3\). Тогда выражение примет вид \( \sqrt[3]{4^3 \cdot 5^3} \).

Так как корень третьей степени от произведения равен произведению корней, получаем \( \sqrt[3]{4^3} \cdot \sqrt[3]{5^3} = 4 \cdot 5 = 20 \).

2) Представим \(2^{10}\) как \( (2^2)^5 \), потому что \(2^{10} = 2^{2 \cdot 5}\). Число \(7^5\) оставим без изменений. Тогда под корнем будет \( (2^2)^5 \cdot 7^5 \).

Корень пятой степени от произведения равен произведению корней, значит \( \sqrt[5]{(2^2)^5} \cdot \sqrt[5]{7^5} = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28 \).

3) Запишем \(3^{18}\) как \( (3^3)^6 \), так как \(18 = 3 \cdot 6\). Аналогично \(10^{24} = (10^4)^6\), потому что \(24 = 4 \cdot 6\).

Тогда под корнем шестой степени будет \( (3^3)^6 \cdot (10^4)^6 = \left(3^3 \cdot 10^4\right)^6 \).

Корень шестой степени от степени шесть — это основание степени, значит \( \sqrt[6]{(3^3 \cdot 10^4)^6} = 3^3 \cdot 10^4 = 27 \cdot 10000 = 270000 \).

4) Перепишем степени в числителе и знаменателе: \(3^{12} = (3^3)^4\), \(11^4\) оставим как есть, \(5^8 = (5^2)^4\), \(2^{16} = (2^4)^4\).

Тогда под корнем четвёртой степени будет выражение \( \frac{(3^3)^4 \cdot 11^4}{(5^2)^4 \cdot (2^4)^4} = \left(\frac{3^3 \cdot 11}{5^2 \cdot 2^4}\right)^4 \).

Корень четвёртой степени от степени четыре — это основание степени, значит \( \sqrt[4]{\left(\frac{3^3 \cdot 11}{5^2 \cdot 2^4}\right)^4} = \frac{3^3 \cdot 11}{5^2 \cdot 2^4} = \frac{27 \cdot 11}{25 \cdot 16} = \frac{297}{400} \).