ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Внесите множитель под знак корня:

1) \(\sqrt[3]{320}\);

2) \(2 \sqrt{7}\);

3) \(5 \sqrt[4]{a}\);

4) \(2 x \sqrt[3]{\frac{5}{8}}\).

1) \( \frac{1}{4} \sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{\frac{1}{4^3} \cdot 320} = \sqrt[3]{\frac{320}{64}} = \sqrt[3]{5} \)

Ответ: \( \sqrt[3]{5} \)

2) \( 2 \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{2^4} \cdot \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{16 \cdot 7} = \sqrt[4]{112} \)

Ответ: \( \sqrt[4]{112} \)

3) \(5\sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 4a} = \sqrt[4]{625 \cdot 4a} = \sqrt[4]{2500a}\)

Ответ: \(\sqrt[4]{2500a}\)

4) \( 2x \sqrt[5]{\frac{3}{8}} = \sqrt[5]{(2x)^5} \cdot \sqrt[5]{\frac{3}{8}} = \sqrt[5]{32 x^{5} \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt[5]{4 x^{5} \cdot 3} = \sqrt[5]{4 x^{18}} \)

Ответ: \( \sqrt[5]{4 x^{18}} \)

1) Дано \( \frac{1}{4} \sqrt[3]{320} \).
Вынесем множитель \( \frac{1}{4} \) под знак кубического корня, возведя его в третью степень:
\( \frac{1}{4} = \sqrt[3]{\frac{1}{4^3}} = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} \).
Тогда:
\( \frac{1}{4} \sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{\frac{1}{64}} \cdot \sqrt[3]{320} = \sqrt[3]{\frac{320}{64}} = \sqrt[3]{5} \).

2) Дано \( 2 \sqrt[4]{7} \).
Вынесем множитель 2 под знак четвёртого корня, возведя в четвёртую степень:
\( 2 = \sqrt[4]{2^4} = \sqrt[4]{16} \).
Тогда:
\( 2 \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{7} = \sqrt[4]{16 \cdot 7} = \sqrt[4]{112} \).

3) В данном выражении требуется упростить произведение числа и корня четвёртой степени: \(5\sqrt[4]{4a}\). Для этого сначала представим число 5 как корень четвёртой степени от его четвёртой степени, то есть \(5 = \sqrt[4]{5^4}\). Тогда всё выражение можно записать как произведение двух корней: \(5\sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{5^4} \cdot \sqrt[4]{4a}\).

Далее воспользуемся свойством корней: произведение корней одной степени от разных чисел равно корню той же степени от произведения этих чисел. То есть, \(\sqrt[4]{5^4} \cdot \sqrt[4]{4a} = \sqrt[4]{5^4 \cdot 4a}\). Теперь вычислим \(5^4\): \(5^4 = 625\). Подставляем это значение в выражение: \(\sqrt[4]{625 \cdot 4a}\).

Осталось перемножить 625 и 4, получаем 2500. В итоге окончательное выражение примет вид: \(\sqrt[4]{2500a}\). Таким образом, исходное выражение упрощается до корня четвёртой степени из произведения 2500 и \(a\).

Ответ: \(\sqrt[4]{2500a}\)

4) Дано \( 2x \sqrt[5]{\frac{3}{8}} \).
Вынесем множитель \( 2x \) под знак пятого корня, возведя в пятую степень:
\( 2x = \sqrt[5]{(2x)^5} = \sqrt[5]{32 x^{5}} \).
Тогда:
\( 2x \sqrt[5]{\frac{3}{8}} = \sqrt[5]{32 x^{5}} \cdot \sqrt[5]{\frac{3}{8}} = \sqrt[5]{32 x^{5} \cdot \frac{3}{8}} = \sqrt[5]{4 x^{5} \cdot 3} = \sqrt[5]{12 x^{5}} \).