ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.14 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(5 \sqrt{4} — 3 \sqrt{16} + 5 \sqrt{128} + \sqrt{2000}\);

2) \(4 \sqrt{625 a} + 3 \sqrt{16 a} — 24 \sqrt{81 a} + 4 \sqrt{1296 a}\).

1) \( \sqrt[3]{54} — 3 \sqrt[3]{16} + 5 \sqrt[3]{128} + \sqrt[3]{2000} =\)
\(= \sqrt[3]{27 \cdot 2} — 3 \sqrt[3]{8 \cdot 2} + 5 \sqrt[3]{64 \cdot 2} + \sqrt[3]{1000 \cdot 2} =\)
\(= 3 \sqrt[3]{2} — 3 \cdot 2 \sqrt[3]{2} + 5 \cdot 4 \sqrt[3]{2} + 10 \sqrt[3]{2} =\)
\(= 3 \sqrt[3]{2} — 6 \sqrt[3]{2} + 20 \sqrt[3]{2} + 10 \sqrt[3]{2} = 27 \sqrt[3]{2}\)

2) \( \sqrt[4]{625 a} + 3 \sqrt[4]{16 a} — 2 \sqrt[4]{81 a} + 4 \sqrt[4]{1296 a} =\)
\(= \sqrt[4]{5^4 a} + 3 \sqrt[4]{2^4 a} — 2 \sqrt[4]{3^4 a} + 4 \sqrt[4]{6^4 a} =\)
\(= 5 \sqrt[4]{a} + 3 \cdot 2 \sqrt[4]{a} — 2 \cdot 3 \sqrt[4]{a} + 4 \cdot 6 \sqrt[4]{a} \)
\(= 5 \sqrt[4]{a} + 6 \sqrt[4]{a} — 6 \sqrt[4]{a} + 24 \sqrt[4]{a} = 29 \sqrt[4]{a}\)

1)
Сначала разложим числа под корнем на произведение кубов и других множителей:
\(54 = 27 \cdot 2\), \(16 = 8 \cdot 2\), \(128 = 64 \cdot 2\), \(2000 = 1000 \cdot 2\).

Далее вынесем кубические корни из кубов:
\(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{2} = 3 \sqrt[3]{2}\),
\(\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{8 \cdot 2} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{2} = 2 \sqrt[3]{2}\),
\(\sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{64 \cdot 2} = \sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{2} = 4 \sqrt[3]{2}\),
\(\sqrt[3]{2000} = \sqrt[3]{1000 \cdot 2} = \sqrt[3]{1000} \cdot \sqrt[3]{2} = 10 \sqrt[3]{2}\).

Подставим это в исходное выражение:
\(3 \sqrt[3]{2} — 3 \cdot 2 \sqrt[3]{2} + 5 \cdot 4 \sqrt[3]{2} + 10 \sqrt[3]{2}\).

Выполним умножение:
\(3 \sqrt[3]{2} — 6 \sqrt[3]{2} + 20 \sqrt[3]{2} + 10 \sqrt[3]{2}\).

Сложим коэффициенты:
\(3 — 6 + 20 + 10 = 27\).

Ответ:
\(27 \sqrt[3]{2}\).

2)
Разложим числа под корнем на произведение четвёртых степеней и других множителей:
\(625 = 5^4\), \(16 = 2^4\), \(81 = 3^4\), \(1296 = 6^4\).

Вынесем корни:
\(\sqrt[4]{625 a} = \sqrt[4]{5^4 a} = 5 \sqrt[4]{a}\),
\(\sqrt[4]{16 a} = \sqrt[4]{2^4 a} = 2 \sqrt[4]{a}\),
\(\sqrt[4]{81 a} = \sqrt[4]{3^4 a} = 3 \sqrt[4]{a}\),
\(\sqrt[4]{1296 a} = \sqrt[4]{6^4 a} = 6 \sqrt[4]{a}\).

Подставим в выражение:
\(4 \cdot 5 \sqrt[4]{a} + 3 \cdot 2 \sqrt[4]{a} — 2 \cdot 3 \sqrt[4]{a} + 4 \cdot 6 \sqrt[4]{a}\).

Выполним умножение:
\(20 \sqrt[4]{a} + 6 \sqrt[4]{a} — 6 \sqrt[4]{a} + 24 \sqrt[4]{a}\).

Сложим коэффициенты:
\(20 + 6 — 6 + 24 = 44\).

Ответ:
\(44 \sqrt[4]{a}\).