ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.15 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\sqrt{2/3}\);

2) \(\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{a}\);

3) \(\sqrt[4]{a^3} \sqrt[7]{7}\);

4) \(\sqrt[5]{3} \sqrt[7]{7}\);

5) \(\sqrt[8]{3} \sqrt[7]{7}\);

6) \(2 \sqrt{2} \sqrt{2}\).

1) \(\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)

2) \(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{4a}\)

3) \(\sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt[7]{7} = a^{\frac{3}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}\)

4) \(\sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[7]{7} = 3^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}\)

5) \(\sqrt[8]{3} \cdot \sqrt[7]{7} = 3^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}\)

6) \(2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4\)

1) Выражение \(\sqrt{\frac{2}{3}}\) можно представить как дробь под корнем. По свойству корней корень из дроби равен дроби из корней: \(\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\). Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\).

2) В выражении \(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{a}\) корни одинаковой степени. Можно перемножить подкоренные выражения: \(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{4a}\).

3) В выражении \(\sqrt[4]{a^3} \cdot \sqrt[7]{7}\) корни разной степени, поэтому перепишем их в степени: \(\sqrt[4]{a^3} = a^{\frac{3}{4}}\), \(\sqrt[7]{7} = 7^{\frac{1}{7}}\). Перемножая, получаем \(a^{\frac{3}{4}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}\).

4) Аналогично в \(\sqrt[5]{3} \cdot \sqrt[7]{7}\) перепишем в степени: \(\sqrt[5]{3} = 3^{\frac{1}{5}}\), \(\sqrt[7]{7} = 7^{\frac{1}{7}}\). Произведение равно \(3^{\frac{1}{5}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}\).

5) В выражении \(\sqrt[8]{3} \cdot \sqrt[7]{7}\) перепишем корни в степени: \(\sqrt[8]{3} = 3^{\frac{1}{8}}\), \(\sqrt[7]{7} = 7^{\frac{1}{7}}\). Произведение равно \(3^{\frac{1}{8}} \cdot 7^{\frac{1}{7}}\).

6) В выражении \(2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\) сначала перемножим корни: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2\). Тогда выражение равно \(2 \cdot 2 = 4\).