ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \(\sqrt{a} \sqrt{a}\);

2) \(\sqrt[3]{b} \sqrt[4]{b}\);

3) \(\sqrt[4]{c} \sqrt[2]{c}\);

4) \(\sqrt[4]{a} \sqrt[3]{a}\);

5) \(\sqrt[2]{x^2} \sqrt[6]{x^{13}}\);

6) \(\sqrt[4]{a} \sqrt[3]{a}\).

1. \(\sqrt{a\sqrt{a}} = \sqrt{a \cdot a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{1+\frac{1}{2}}} = \sqrt{a^{\frac{3}{2}}} = a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}\)

2. \(\sqrt[3]{3\sqrt{3}} = \sqrt[3]{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{3^{1+\frac{1}{2}}} = \sqrt[3]{3^{\frac{3}{2}}} = 3^{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\)

3. \(\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3]{b \cdot b^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{b^{1+\frac{1}{4}}} = \sqrt[3]{b^{\frac{5}{4}}} = b^{\frac{5}{12}} = \sqrt[12]{b^5}\)

4. \(\sqrt[9]{c^2\sqrt[4]{c}} = \sqrt[9]{c^2 \cdot c^{\frac{1}{4}}} = \sqrt[9]{c^{2+\frac{1}{4}}} = \sqrt[9]{c^{\frac{9}{4}}} = c^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{c}\)

5. \(\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}} = \sqrt[5]{x^2 \cdot x^{\frac{13}{6}}} = \sqrt[5]{x^{2+\frac{13}{6}}} = \sqrt[5]{x^{\frac{25}{6}}} = x^{\frac{5}{6}} = \sqrt[6]{x^5}\)

6. \(\sqrt[4]{a^4\sqrt[3]{a^3}} = \sqrt[4]{a^4 \cdot a^{1}} = \sqrt[4]{a^{4+1}} = \sqrt[4]{a^{5}} = a^{\frac{5}{4}} = \sqrt[3]{a}\)

\(\sqrt{a\sqrt{a}}\) преобразуем через свойства степеней и корней. Сначала заметим, что \(\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}}\), значит выражение становится \(\sqrt{a \cdot a^{\frac{1}{2}}}\). Складываем показатели степени в произведении: \(a^1 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{1+\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{2}}\). Теперь применим корень: \(\sqrt{a^{\frac{3}{2}}} = (a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{3}{4}}\). Переведём результат обратно в форму корня: \(\sqrt[4]{a^3}\).

\(\sqrt[3]{3\sqrt{3}}\) сначала представим как \(\sqrt[3]{3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}\). Используя сложение показателей степени в произведении, получаем \(3^1 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1+\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}\). Далее извлекаем кубический корень: \((3^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 3^{\frac{1}{2}}\), что эквивалентно \(\sqrt{3}\).

\(\sqrt[3]{b\sqrt[4]{b}}\) преобразуем так: \(\sqrt[3]{b \cdot b^{\frac{1}{4}}}\). Складываем показатели степени: \(b^1 \cdot b^{\frac{1}{4}} = b^{1+\frac{1}{4}} = b^{\frac{5}{4}}\). Теперь извлекаем кубический корень: \((b^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{3}} = b^{\frac{5}{12}}\). Запишем это в виде корня: \(\sqrt[12]{b^5}\).

\(\sqrt[9]{c^2\sqrt[4]{c}}\) представим как \(\sqrt[9]{c^2 \cdot c^{\frac{1}{4}}}\). Складываем показатели степени: \(c^2 \cdot c^{\frac{1}{4}} = c^{2+\frac{1}{4}} = c^{\frac{9}{4}}\). Теперь извлекаем девятый корень: \((c^{\frac{9}{4}})^{\frac{1}{9}} = c^{\frac{9}{4} \cdot \frac{1}{9}} = c^{\frac{1}{4}}\). Запишем это в виде корня: \(\sqrt[4]{c}\).

\(\sqrt[5]{x^2\sqrt[6]{x^{13}}}\) преобразуем: \(\sqrt[5]{x^2 \cdot x^{\frac{13}{6}}}\). Складываем показатели: \(x^2 \cdot x^{\frac{13}{6}} = x^{2+\frac{13}{6}}\). Приведём к общему знаменателю: \(2 = \frac{12}{6}\), значит \(2+\frac{13}{6} = \frac{25}{6}\). Теперь извлекаем пятый корень: \((x^{\frac{25}{6}})^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{25}{6} \cdot \frac{1}{5}} = x^{\frac{5}{6}}\). Запишем это в виде корня: \(\sqrt[6]{x^5}\).

\(\sqrt[4]{a^4\sqrt[3]{a^3}}\) преобразуем: \(\sqrt[4]{a^4 \cdot a^{1}}\), так как \(\sqrt[3]{a^3} = a^{3 \cdot \frac{1}{3}} = a^{1}\). Складываем показатели степени: \(a^4 \cdot a^{1} = a^{4+1} = a^{5}\). Теперь извлекаем четвёртый корень: \((a^5)^{\frac{1}{4}} = a^{\frac{5}{4}}\).