ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Упростите выражение:

1) \((\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} — \sqrt[8]{n})\);

2) \((\sqrt{a} — \sqrt{6 a} + 3 \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{6 b})\).

1) \((\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[8]{m} — \sqrt[8]{n}) = (\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} — \sqrt{n}) = m — n\), где \(m \geq 0, n \geq 0\).

2) \((\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b}) = (\sqrt[6]{a})^3 + (\sqrt[6]{b})^3 = \sqrt{a} + \sqrt{b}\).

1) Рассмотрим выражение \((\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} — \sqrt[8]{n})\).

Сгруппируем множители так: \((\sqrt{m} + \sqrt{n}) \cdot [(\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} — \sqrt[8]{n})] \cdot (\sqrt{m} + \sqrt{n})\).

Внутри скобок умножение вида \((a + b)(a — b) = a^2 — b^2\), значит
\((\sqrt[8]{m} + \sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m} — \sqrt[8]{n}) = (\sqrt[8]{m})^2 — (\sqrt[8]{n})^2 = \sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n}\).

Теперь выражение равно \((\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n})\).

Обозначим \(\sqrt{m} = x\), \(\sqrt{n} = y\), \(\sqrt[4]{m} = u\), \(\sqrt[4]{n} = v\).

Тогда выражение становится \((x + y)(u — v)(x + y)\).

Рассмотрим произведение \((x + y)(u — v)\). Известно, что \((u — v)(x + y) = (x + y)(u — v)\), поэтому можно переписать так: \((x + y)(u — v) = (x + y)(\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})\).

Заметим, что \(\sqrt[4]{m} = (\sqrt{m})^{1/2} = x^{1/2}\), а \(\sqrt[4]{n} = y^{1/2}\), но для упрощения воспользуемся другим подходом.

Рассмотрим произведение \((\sqrt[4]{m} + \sqrt[4]{n})(\sqrt[8]{m} — \sqrt[8]{n})\) из условия, оно равно \(\sqrt{m} — \sqrt{n}\).

Следовательно, исходное выражение можно переписать как \((\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} — \sqrt{n})\).

Это разность квадратов, значит
\((\sqrt{m} + \sqrt{n})(\sqrt{m} — \sqrt{n}) = m — n\).

Ответ: \(m — n\), где \(m \geq 0, n \geq 0\).

2) Рассмотрим выражение \((\sqrt[3]{a} — \sqrt[6]{ab} + \sqrt[3]{b})(\sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b})\).

Обозначим \(\sqrt[6]{a} = x\), \(\sqrt[6]{b} = y\).

Тогда \(\sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2 = x^2\), \(\sqrt[3]{b} = y^2\), \(\sqrt[6]{ab} = xy\).

Подставим в выражение: \((x^2 — xy + y^2)(x + y)\).

Раскроем скобки:
\(x^2 \cdot x + x^2 \cdot y — xy \cdot x — xy \cdot y + y^2 \cdot x + y^2 \cdot y = x^3 + x^2 y — x^2 y — x y^2 + x y^2 + y^3\).

Сократим одинаковые слагаемые: \(x^2 y — x^2 y = 0\), \(-x y^2 + x y^2 = 0\).

Остается \(x^3 + y^3\).

Подставим обратно: \(x^3 = (\sqrt[6]{a})^3 = \sqrt{a}\), \(y^3 = \sqrt{b}\).

Ответ: \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\).