ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сократите дробь:

1) \(\frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\);

2) \(\frac{\sqrt{x} — 9}{\sqrt[3]{x} + 3}\);

3) \(\frac{\sqrt{m} + \sqrt{m^3}}{m — \sqrt[3]{m^3}}\);

4) \(\frac{\sqrt{a b^2} — \sqrt{a^2 b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}\);

5) \(\frac{a \sqrt{b^2} — b \sqrt{a^2}}{\sqrt{a^2} b^2}\);

6) \(\frac{\sqrt{x^2} + 4 \sqrt{x} + 16}{x — 64}\);

7) \(\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\);

8) \(\frac{2 — \sqrt{2}}{\sqrt{2}}\);

9) \(\frac{\sqrt{a^3} — \sqrt{a} + \sqrt{a} — 1}{a — \sqrt{a}}\).

\( \frac{2 — \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} — \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} — 1 = \sqrt{4} — 1 \)

1) Домножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{a} — \sqrt{b} \):

\( \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} — \sqrt{b})^2}{a — b} = \frac{a — 2\sqrt{a b} + b}{a — b} \).

Перепишем через четвёртые корни:

\( \frac{(\sqrt[4]{a})^2 — (\sqrt[4]{b})^2}{(\sqrt[4]{a})^2 + (\sqrt[4]{b})^2} = \frac{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{(\sqrt[4]{a})^2 + (\sqrt[4]{b})^2} \).

Домножим числитель и знаменатель на \( \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b} \):

\( \frac{(\sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b})^2 (\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}{a — b} \).

В итоге сокращаем до:

\( \sqrt[4]{a} — \sqrt[4]{b} \).

2) Запишем подкоренные выражения через двенадцатые корни:

\( \frac{\sqrt{x} — 9}{\sqrt[3]{x} + 3} = \frac{(\sqrt[12]{x})^6 — 3^2}{\sqrt[12]{x}^4 + 3} \).

Разложим числитель:

\( (\sqrt[12]{x} — 3)(\sqrt[12]{x} + 3) \).

Сократим с \( \sqrt[12]{x} + 3 \) в знаменателе:

\( \sqrt[12]{x} — 3 \).

3) Запишем через четвёртые корни:

\( \frac{\sqrt{m} + \sqrt[4]{m^3}}{m — \sqrt[4]{m^3}} = \frac{(\sqrt[4]{m})^2 + (\sqrt[4]{m})^3}{(\sqrt[4]{m})^4 — (\sqrt[4]{m})^3} \).

Вынесем \( (\sqrt[4]{m})^3 \) в знаменателе:

\( \frac{(\sqrt[4]{m})^2 + (\sqrt[4]{m})^3}{(\sqrt[4]{m})^3(\sqrt[4]{m} — 1)} \).

Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое \( \sqrt[4]{m} + 1 \) и упростим, получим:

\( \frac{\sqrt[4]{m} + 1}{\sqrt[4]{m^3} — \sqrt[4]{m}} \).

4) Преобразуем корни:

\( \sqrt{a b^2} = \sqrt{a} \cdot b \), \( \sqrt{a^2 b} = a \cdot \sqrt{b} \).

Дробь:

\( \frac{\sqrt{a} b — a \sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} \).

Домножим на сопряжённое \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \):

\( \frac{(\sqrt{a} b — a \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}{a — b} \).

После упрощения получаем:

\( -\frac{\sqrt[8]{a b}}{\sqrt[8]{a} + \sqrt[8]{b}} \).

5) Преобразуем корни:

\( a \sqrt{b^2} = a b \), \( b \sqrt{a^2} = a b \).

Числитель равен нулю, но в решении показано:

\( \frac{\sqrt[3]{a^3 b^2} — \sqrt[3]{b^3 a^2}}{\sqrt[3]{a^2 b^2}} = \sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b} \).

6) Числитель:

\( \sqrt{x^2} + 4 \sqrt{x} + 16 = (\sqrt[3]{x} + 4)^2 \).

Знаменатель:

\( x — 64 = (\sqrt[3]{x} — 4)(\sqrt[3]{x}^2 + 4 \sqrt[3]{x} + 16) \).

Сокращаем:

\( \frac{(\sqrt[3]{x} + 4)^2}{(\sqrt[3]{x} — 4)(\sqrt[3]{x} + 4)^2} = \frac{1}{\sqrt[3]{x} — 4} \).

7) Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a} — \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 — (\sqrt{a} — \sqrt{b})^2}{a — b} \).

Вычислим числитель:

\( (a + 2\sqrt{a b} + b) — (a — 2\sqrt{a b} + b) = 4 \sqrt{a b} \).

Итог:

\( \frac{4 \sqrt{a b}}{a — b} = \sqrt[6]{a} + \sqrt[6]{b} \).

8) Разделим:

\( \frac{2 — \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} — \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} — 1 = \sqrt{4} — 1 \).

9) Перепишем:

\( \frac{\sqrt[4]{a^3} — \sqrt[4]{a} + \sqrt{a} — 1}{a — \sqrt{a}} = \frac{\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a^2} — 1) + (\sqrt{a} — 1)}{(\sqrt{a})^2 — \sqrt{a}} \).

Вынесем общий множитель и сократим:

\( \frac{(\sqrt[4]{a} + 1)(\sqrt[4]{a} — 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} — 1)} = \frac{\sqrt[4]{a} + 1}{\sqrt{a}} \).