ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.2 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вычислите:

1) \(\sqrt[3]{0,064} \cdot 343\);

2) \(\sqrt[4]{0,0081} \cdot 114\);

3) \(\sqrt[5]{75 \cdot 120}\);

4) \(\sqrt[8]{24^4 \cdot 316}\).

\(\sqrt[8]{\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}}} = \frac{(2^3)^8 \cdot (3^2)^8}{(5^2)^8} = \frac{2^3 \cdot 3^2}{5^2} = \frac{8 \cdot 9}{25} = \frac{72}{25} = 2,88\)

1)
Вычислим \(\sqrt[3]{0,064} \cdot 343\).
Сначала найдём \(\sqrt[3]{0,064}\). Заметим, что \(0,064 = \frac{64}{1000} = \left(\frac{4}{10}\right)^3\), значит \(\sqrt[3]{0,064} = \frac{4}{10} = 0,4\).
Далее \(343 = 7^3\). Тогда \(\sqrt[3]{343} = 7\).
Перемножим: \(\sqrt[3]{0,064} \cdot 343 = 0,4 \cdot 343 = 0,4 \cdot 7^3\).
Используем свойство корня: \(\sqrt[3]{0,064 \cdot 343} = \sqrt[3]{(0,4 \cdot 7)^3} = 0,4 \cdot 7 = 2,8\).

2)
Вычислим \(\sqrt[4]{0,0081} \cdot 114\).
Заметим, что \(0,0081 = \frac{81}{10000} = \left(\frac{3}{10}\right)^4\), значит \(\sqrt[4]{0,0081} = \frac{3}{10} = 0,3\).
Также \(114 = 11^4\), значит \(\sqrt[4]{114} = 11\).
Тогда \(\sqrt[4]{0,0081} \cdot 114 = 0,3 \cdot 114 = 0,3 \cdot 11^4\).
По свойству корня: \(\sqrt[4]{0,0081 \cdot 114} = \sqrt[4]{\left(0,3 \cdot 11\right)^4} = 0,3 \cdot 11 = 3,3\).

3)
Вычислим \(\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^{10}}}\).
Корень пятой степени от дроби равен дроби корней:
\(\sqrt[5]{\frac{7^5}{2^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{7^5}}{\sqrt[5]{2^{10}}} = \frac{7}{2^{10/5}} = \frac{7}{2^2} = \frac{7}{4} = 1,75\).

4)
Вычислим \(\sqrt[8]{\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}}}\).
Запишем подкоренное выражение как степени с показателями, кратными 8:
\(\frac{2^{24} \cdot 3^{16}}{5^{16}} = \frac{(2^3)^8 \cdot (3^2)^8}{(5^2)^8}\).
Тогда корень восьмой степени равен:
\(\sqrt[8]{\frac{(2^3)^8 \cdot (3^2)^8}{(5^2)^8}} = \frac{2^3 \cdot 3^2}{5^2} = \frac{8 \cdot 9}{25} = \frac{72}{25} = 2,88\).