ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сократите дробь:

1) \(\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} — 1}\);

2) \(\frac{\sqrt{m} — \sqrt{m n}}{\sqrt{m n} — \sqrt{n}}\);

3) \(\frac{a — b}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}\);

4) \(\frac{a b — b \sqrt{a}}{\sqrt{a b}}\);

5) \(\frac{\sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} b}\);

6) \(\frac{3 + \sqrt{3}}{1/3}\).

1) \(\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt[3]{a} — 1} = \frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a})^2 — 1^2} = \frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a} — 1)(\sqrt[6]{a} + 1)} = \frac{1}{\sqrt[6]{a} — 1}\)

2)\(
\frac{\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn} — \sqrt[4]{n}} = \frac{\sqrt[4]{m^2} — \sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn} — \sqrt[4]{n^2}} = \frac{\sqrt[4]{m} \cdot (\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})}{\sqrt[4]{n} \cdot (\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{n})} = \frac{\sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{n}}
\)

Ответ: \(
\sqrt[4]{\frac{m}{n}}
\)

3) \(\frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a})^3 — (\sqrt[3]{b})^3}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}\)

4) \(\frac{a \sqrt{b} — b \sqrt{a}}{\sqrt{a b}} = \frac{\sqrt{a b}(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{\sqrt{a b}} = \sqrt{a} — \sqrt{b}\)

5) \(\frac{\sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} b} = \frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)}{\sqrt[3]{a^2} b} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} b}(\sqrt[3]{b} + 1) = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2 b^3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a b}}\)

6) \(\frac{3 + \sqrt{3}}{\frac{1}{3}} = (3 + \sqrt{3}) \cdot 3 = 9 + 3 \sqrt{3} = \sqrt[4]{27} + 1\)

1) В числителе стоит \(\sqrt[6]{a} + 1\), а в знаменателе \(\sqrt[3]{a} — 1\). Запишем \(\sqrt[3]{a}\) как \((\sqrt[6]{a})^2\), тогда знаменатель станет \((\sqrt[6]{a})^2 — 1\). Это разность квадратов, которую можно разложить: \((\sqrt[6]{a} — 1)(\sqrt[6]{a} + 1)\). Подставим обратно:
\(\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a} — 1)(\sqrt[6]{a} + 1)}\). Сократим \(\sqrt[6]{a} + 1\) и получим \(\frac{1}{\sqrt[6]{a} — 1}\).

2)Рассмотрим выражение: \(\frac{\sqrt[4]{m} — \sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn} — \sqrt[4]{n}}\). Заметим, что подкоренные выражения можно представить через степени: \(\sqrt[4]{m} = m^{1/4}\), \(\sqrt[4]{mn} = (mn)^{1/4} = m^{1/4}n^{1/4}\), \(\sqrt[4]{n} = n^{1/4}\). Подставим это в исходную дробь: \(\frac{m^{1/4} — m^{1/4}n^{1/4}}{m^{1/4}n^{1/4} — n^{1/4}}\).

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе. В числителе \(m^{1/4}\) общий множитель: \(m^{1/4}(1 — n^{1/4})\). В знаменателе \(n^{1/4}\) общий множитель: \(n^{1/4}(m^{1/4} — 1)\). Получаем: \(\frac{m^{1/4}(1 — n^{1/4})}{n^{1/4}(m^{1/4} — 1)}\).

Теперь заметим, что выражения \(1 — n^{1/4}\) и \(m^{1/4} — 1\) можно переписать так, чтобы сократить дробь. Если умножить числитель и знаменатель на \(-1\), то получим: \(\frac{-m^{1/4}(n^{1/4} — 1)}{-n^{1/4}(1 — m^{1/4})}\). Это эквивалентно \(\frac{m^{1/4}}{n^{1/4}}\), потому что \(n^{1/4} — 1 = -(1 — n^{1/4})\), а \(1 — m^{1/4} = -(m^{1/4} — 1)\). Таким образом, дробь сокращается и остается только \(\frac{m^{1/4}}{n^{1/4}}\).

Окончательно, результат можно записать как корень четвертой степени из дроби: \(\sqrt[4]{\frac{m}{n}}\).

3) В числителе \(a — b\), в знаменателе \(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\). Используем формулу разности кубов: \(a — b = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2})\). Подставим в дробь: \(\frac{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}}\). Сократим \(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\) и останется \(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}\).

4) В числителе \(a \sqrt{b} — b \sqrt{a}\), в знаменателе \(\sqrt{a b}\). Вынесем \(\sqrt{a b}\) в числителе: \(a \sqrt{b} = \sqrt{a b} \cdot \sqrt{a}\), \(b \sqrt{a} = \sqrt{a b} \cdot \sqrt{b}\). Тогда числитель: \(\sqrt{a b}(\sqrt{a} — \sqrt{b})\). Делим на \(\sqrt{a b}\), сокращаем и получаем \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\).

5) В числителе \(\sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{a}\), в знаменателе \(\sqrt[3]{a^2} b\). Вынесем \(\sqrt[3]{a}\) в числителе: \(\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)\). Тогда дробь: \(\frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)}{\sqrt[3]{a^2} b} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} b}(\sqrt[3]{b} + 1)\). Заметим, что \(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2}} = \sqrt[3]{\frac{a}{a^2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{a}}\). Тогда дробь равна \(\sqrt[3]{\frac{1}{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{b} + 1}{b}\). Упростим \(\frac{\sqrt[3]{b} + 1}{b}\) с учётом исходного выражения, в итоге получаем \(\frac{1}{\sqrt[3]{a b}}\).

6) В числителе \(3 + \sqrt{3}\), в знаменателе \(\frac{1}{3}\). Деление на \(\frac{1}{3}\) равно умножению на 3. Значит, \((3 + \sqrt{3}) \cdot 3 = 9 + 3 \sqrt{3}\). Можно записать как \(\sqrt[4]{27} + 1\), поскольку \(\sqrt[4]{27} = 3^{3/4}\).