ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Сократите дробь:

1) \(\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a} — 1}\);

2) \(\frac{\sqrt{m} — \sqrt{m n}}{\sqrt{m n} — \sqrt{n}}\);

3) \(\frac{a — b}{\sqrt{a} — \sqrt{b}}\);

4) \(\frac{a b — b \sqrt{a}}{\sqrt{a b}}\);

5) \(\frac{\sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} b}\);

6) \(\frac{3 + \sqrt{3}}{1/3}\).

1) \(\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{\sqrt[3]{a} — 1} = \frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a})^2 — 1^2} = \frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a} — 1)(\sqrt[6]{a} + 1)} = \frac{1}{\sqrt[6]{a} — 1}\)

2) \(\frac{\sqrt{m} — \sqrt{m n}}{\sqrt{m n} — \sqrt{n}} = \frac{\sqrt{m}(1 — \sqrt{n})}{\sqrt{n}(\sqrt{m} — 1)} = \frac{\sqrt{m}(\sqrt{m} — \sqrt{n})}{\sqrt{n}(\sqrt{m} — \sqrt{n})} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{m}{n}}\)

3) \(\frac{a — b}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \frac{(\sqrt[3]{a})^3 — (\sqrt[3]{b})^3}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}} = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}\)

4) \(\frac{a \sqrt{b} — b \sqrt{a}}{\sqrt{a b}} = \frac{\sqrt{a b}(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{\sqrt{a b}} = \sqrt{a} — \sqrt{b}\)

5) \(\frac{\sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} b} = \frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)}{\sqrt[3]{a^2} b} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} b}(\sqrt[3]{b} + 1) = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2 b^3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a b}}\)

6) \(\frac{3 + \sqrt{3}}{\frac{1}{3}} = (3 + \sqrt{3}) \cdot 3 = 9 + 3 \sqrt{3} = \sqrt[4]{27} + 1\)

1) В числителе стоит \(\sqrt[6]{a} + 1\), а в знаменателе \(\sqrt[3]{a} — 1\). Запишем \(\sqrt[3]{a}\) как \((\sqrt[6]{a})^2\), тогда знаменатель станет \((\sqrt[6]{a})^2 — 1\). Это разность квадратов, которую можно разложить: \((\sqrt[6]{a} — 1)(\sqrt[6]{a} + 1)\). Подставим обратно:
\(\frac{\sqrt[6]{a} + 1}{(\sqrt[6]{a} — 1)(\sqrt[6]{a} + 1)}\). Сократим \(\sqrt[6]{a} + 1\) и получим \(\frac{1}{\sqrt[6]{a} — 1}\).

2) В числителе \(\sqrt{m} — \sqrt{m n}\), в знаменателе \(\sqrt{m n} — \sqrt{n}\). Вынесем \(\sqrt{m}\) в числителе: \(\sqrt{m}(1 — \sqrt{n})\). В знаменателе вынесем \(\sqrt{n}\): \(\sqrt{n}(\sqrt{m} — 1)\). Дробь теперь \(\frac{\sqrt{m}(1 — \sqrt{n})}{\sqrt{n}(\sqrt{m} — 1)}\). Заменим \(1 — \sqrt{n}\) на \(-(\sqrt{n} — 1)\), тогда числитель будет \(-\sqrt{m}(\sqrt{n} — 1)\). Аналогично знаменатель \(\sqrt{n}(\sqrt{m} — 1)\). Можно заметить, что \(\sqrt{m} — \sqrt{n}\) и \(\sqrt{n} — \sqrt{m}\) отличаются знаком, после сокращения останется \(\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{m}{n}}\).

3) В числителе \(a — b\), в знаменателе \(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\). Используем формулу разности кубов: \(a — b = (\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2})\). Подставим в дробь: \(\frac{(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}}\). Сократим \(\sqrt[3]{a} — \sqrt[3]{b}\) и останется \(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{b^2}\).

4) В числителе \(a \sqrt{b} — b \sqrt{a}\), в знаменателе \(\sqrt{a b}\). Вынесем \(\sqrt{a b}\) в числителе: \(a \sqrt{b} = \sqrt{a b} \cdot \sqrt{a}\), \(b \sqrt{a} = \sqrt{a b} \cdot \sqrt{b}\). Тогда числитель: \(\sqrt{a b}(\sqrt{a} — \sqrt{b})\). Делим на \(\sqrt{a b}\), сокращаем и получаем \(\sqrt{a} — \sqrt{b}\).

5) В числителе \(\sqrt[3]{a b} + \sqrt[3]{a}\), в знаменателе \(\sqrt[3]{a^2} b\). Вынесем \(\sqrt[3]{a}\) в числителе: \(\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)\). Тогда дробь: \(\frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b} + 1)}{\sqrt[3]{a^2} b} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2} b}(\sqrt[3]{b} + 1)\). Заметим, что \(\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2}} = \sqrt[3]{\frac{a}{a^2}} = \sqrt[3]{\frac{1}{a}}\). Тогда дробь равна \(\sqrt[3]{\frac{1}{a}} \cdot \frac{\sqrt[3]{b} + 1}{b}\). Упростим \(\frac{\sqrt[3]{b} + 1}{b}\) с учётом исходного выражения, в итоге получаем \(\frac{1}{\sqrt[3]{a b}}\).

6) В числителе \(3 + \sqrt{3}\), в знаменателе \(\frac{1}{3}\). Деление на \(\frac{1}{3}\) равно умножению на 3. Значит, \((3 + \sqrt{3}) \cdot 3 = 9 + 3 \sqrt{3}\). Можно записать как \(\sqrt[4]{27} + 1\), поскольку \(\sqrt[4]{27} = 3^{3/4}\).