ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) выполняется равенство:

1) \(\sqrt[4]{(a — 5)^3} = (\sqrt[4]{a — 5})^3\);

2) \(\sqrt[3]{(a — 5)^4} = (\sqrt[3]{a — 5})^4\);

3) \(\sqrt[4]{(a — 2)^4} = (\sqrt[4]{a — 2})^4\);

4) \(\sqrt[6]{a(a — 1)} = \sqrt[6]{a} \sqrt[6]{1 — a}\);

5) \(\sqrt[10]{a — 4} \cdot \sqrt[10]{(a — 4)^9} = a — 4\);

6) \(\sqrt[12]{a — 2} = \sqrt[12]{a} — \sqrt[12]{3}\).

1) \( \sqrt[4]{(a — 5)^3} = (\sqrt[4]{a — 5})^3 \)
Выражение имеет смысл, если \( a — 5 \geq 0 \), значит \( a \geq 5 \).
Ответ: \( a \in [5; +\infty) \).

2) \( \sqrt[3]{(a — 5)^4} = (\sqrt[3]{a — 5})^4 \)
Корень третьей степени определён для всех \( a \in \mathbb{R} \).
Ответ: \( a \in (-\infty; +\infty) \).

3) \( \sqrt[4]{(a — 2)^4} = (\sqrt[4]{a — 2})^4 \)
Выражение имеет смысл, если \( a — 2 \geq 0 \), значит \( a \geq 2 \).
Ответ: \( a \in [2; +\infty) \).

4) \( \sqrt[6]{a(a — 1)} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{1 — a} \)
Левая часть имеет смысл, если \( a(a — 1) \geq 0 \), то есть \( a \leq 0 \) или \( a \geq 1 \).
Правая часть имеет смысл, если \( a \geq 0 \) и \( 1 — a \geq 0 \), то есть \( 0 \leq a \leq 1 \).
Пересечение: \( a = 0 \) или \( a = 1 \).
Ответ: \( a \in \{0; 1\} \).

5) \( \sqrt[10]{a — 4} \cdot \sqrt[10]{(a — 4)^9} = a — 4 \)
Выражение имеет смысл, если \( a — 4 \geq 0 \), значит \( a \geq 4 \).
Ответ: \( a \in [4; +\infty) \).

6) \( \sqrt[12]{a — 2} = \sqrt[12]{a} — \sqrt[12]{3} \)
Левая часть имеет смысл, если \( a — 2 \geq 0 \), то есть \( a \geq 2 \).
Правая часть имеет смысл, если \( a \geq 0 \).
Из условий на правую часть и знак выражения получается \( 2 \leq a < 3 \).
Ответ: \( a \in [2; 3) \).

1) Рассмотрим равенство \( \sqrt[4]{(a — 5)^3} = (\sqrt[4]{a — 5})^3 \). Чтобы корень четвёртой степени имел смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть \( a — 5 \geq 0 \). Отсюда следует, что \( a \geq 5 \). При таких значениях \(a\) равенство выполняется.

2) Рассмотрим равенство \( \sqrt[3]{(a — 5)^4} = (\sqrt[3]{a — 5})^4 \). Корень третьей степени определён для всех действительных чисел, поэтому подкоренное выражение может быть любым. Значит, область определения — все \( a \in \mathbb{R} \). При любых \(a\) равенство верно.

3) Рассмотрим равенство \( \sqrt[4]{(a — 2)^4} = (\sqrt[4]{a — 2})^4 \). Левая часть — корень четвёртой степени из четвёртой степени, она равна абсолютному значению \( |a — 2|^{\frac{4}{4}} = |a — 2| \geq 0 \). Правая часть — четвёртая степень корня четвёртой степени, то есть \( a — 2 \), если \( a — 2 \geq 0 \). Чтобы корень четвёртой степени был определён, нужно \( a — 2 \geq 0 \). Значит, \( a \geq 2 \). Для таких \(a\) равенство выполняется.

4) Рассмотрим равенство \( \sqrt[6]{a(a — 1)} = \sqrt[6]{a} \cdot \sqrt[6]{1 — a} \). Левая часть определена, если \( a(a — 1) \geq 0 \), то есть \( a \leq 0 \) или \( a \geq 1 \). Правая часть определена, если \( a \geq 0 \) и \( 1 — a \geq 0 \), то есть \( 0 \leq a \leq 1 \). Пересечение этих областей — точки \( a = 0 \) и \( a = 1 \). В этих точках равенство верно.

5) Рассмотрим равенство \( \sqrt[10]{a — 4} \cdot \sqrt[10]{(a — 4)^9} = a — 4 \). Корни десятичной степени определены, если \( a — 4 \geq 0 \), то есть \( a \geq 4 \). Левая часть равна \( \sqrt[10]{(a — 4)^{10}} = |a — 4| \). При \( a \geq 4 \) это равно \( a — 4 \). Значит, равенство выполняется при \( a \geq 4 \).

6) Рассмотрим равенство \( \sqrt[12]{a — 2} = \sqrt[12]{a} — \sqrt[12]{3} \). Левая часть определена при \( a — 2 \geq 0 \), то есть \( a \geq 2 \). Правая часть определена, если \( a \geq 0 \). Чтобы правая часть была неотрицательной, нужно \( \sqrt[12]{a} \geq \sqrt[12]{3} \), то есть \( a \geq 3 \). Подставим \( a = 3 \): левая часть \( \sqrt[12]{1} = 1 \), правая часть \( \sqrt[12]{3} — \sqrt[12]{3} = 0 \), не равно. При \( a = 2 \) левая часть \( 0 \), правая отрицательна. Значит, равенство верно при \( 2 \leq a < 3 \).