ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) выполняется равенство:

1) \(\sqrt{a^{30}} = a^5\);

2) \(\sqrt[4]{a} = (\sqrt[4]{a})^2\);

3) \(\sqrt[4]{a} = (\sqrt[4]{a})^3\);

4) \(\sqrt[4]{a} = (\sqrt[4]{a})^7\).

1) \(\sqrt[6]{a^{30}} = a^{5}\)
\(\sqrt[6]{a^{30}} = (a^{30})^{\frac{1}{6}} = a^{5}\)
\(|a^{5}| = a^{5}\)
\(|a| = a\)
\(a \geq 0\)
Ответ: \(a \in [0; +\infty)\).

2) \(\sqrt[6]{a^{30}} = -a^{5}\)
\(\sqrt[6]{a^{30}} = |a^{5}|\)
\(|a^{5}| = -a^{5}\)
\(|a| = -a\)
\(-a \geq 0\)
\(a \leq 0\)
Ответ: \(a \in (-\infty; 0]\).

3) \(\sqrt[4]{a^{4}} = (\sqrt[4]{a})^{4}\)
\(\sqrt[4]{a^{4}} = |a|\)
Выражение имеет смысл при \(a \geq 0\)
Ответ: \(a \in [0; +\infty)\).

4) \(\sqrt[4]{a^{4}} = (\sqrt[4]{-a})^{4}\)
\(\sqrt[4]{a^{4}} = |a|\)
Выражение имеет смысл при \(-a \geq 0\), то есть \(a \leq 0\)
Ответ: \(a \in (-\infty; 0]\).

1) Рассмотрим выражение \(\sqrt[6]{a^{30}}\). По свойству степеней корень шестой степени равен возведению в степень \(\frac{1}{6}\), значит
\(\sqrt[6]{a^{30}} = (a^{30})^{\frac{1}{6}} = a^{30 \cdot \frac{1}{6}} = a^{5}\).
Таким образом, левое выражение равно \(a^{5}\). Но корень шестой степени всегда неотрицателен, значит
\(\sqrt[6]{a^{30}} = |a^{5}|\).
Равенство \(\sqrt[6]{a^{30}} = a^{5}\) значит, что
\(|a^{5}| = a^{5}\), то есть \(a^{5} \geq 0\).
Поскольку степень нечётная, знак \(a^{5}\) совпадает со знаком \(a\), следовательно \(a \geq 0\).
Ответ: \(a \in [0; +\infty)\).

2) Аналогично, \(\sqrt[6]{a^{30}} = |a^{5}|\). Равенство \(\sqrt[6]{a^{30}} = -a^{5}\) означает
\(|a^{5}| = -a^{5}\).
Для этого необходимо, чтобы \(-a^{5} \geq 0\), то есть \(a^{5} \leq 0\).
Опять же, так как степень нечётная, знак \(a^{5}\) совпадает со знаком \(a\), значит \(a \leq 0\).
Ответ: \(a \in (-\infty; 0]\).

3) Рассмотрим \(\sqrt[4]{a^{4}}\). Корень четвёртой степени из \(a^{4}\) равен
\(\sqrt[4]{a^{4}} = (a^{4})^{\frac{1}{4}} = a^{4 \cdot \frac{1}{4}} = a^{1} = a\) при \(a \geq 0\), но на самом деле корень четвёртой степени всегда неотрицателен, значит
\(\sqrt[4]{a^{4}} = |a|\).
Правая часть равенства \((\sqrt[4]{a})^{4} = a\), но \(\sqrt[4]{a}\) определён только при \(a \geq 0\).
Равенство \(|a| = a\) верно, когда \(a \geq 0\).
Ответ: \(a \in [0; +\infty)\).

4) Аналогично, \(\sqrt[4]{a^{4}} = |a|\). Правая часть \((\sqrt[4]{-a})^{4} = -a\), при условии, что \(-a \geq 0\), то есть \(a \leq 0\).
Равенство \(|a| = -a\) верно, когда \(a \leq 0\).
Ответ: \(a \in (-\infty; 0]\).