ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) и \(b\) выполняется равенство:

1) \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} — \sqrt{b}\);

2) \(\sqrt{-ab} = \sqrt{a} — \sqrt{b}\);

3) \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} — \sqrt{b}\);

4) \(\sqrt{ab} = \sqrt{a} — \sqrt{b}\).

1)
\(\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}\)
\(\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{(-a) \cdot (-b)} = \sqrt[4]{ab}\)
Чтобы корни имели смысл, нужно:
\(-a \geq 0\) и \(-b \geq 0\), значит \(a \leq 0\), \(b \leq 0\).
Ответ: \(a \in (-\infty; 0]\), \(b \in (-\infty; 0]\).

2)
\(\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}\)
\(\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a \cdot (-b)} = \sqrt[4]{-ab}\)
Чтобы корни имели смысл, нужно:
\(a \geq 0\) и \(-b \geq 0\), значит \(b \leq 0\).
Ответ: \(a \in [0; +\infty)\), \(b \in (-\infty; 0]\).

3)
\(\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}\)
Корень пятой степени существует для всех \(a\) и \(b\).
Ответ: \(a, b \in (-\infty; +\infty)\).

4)
\(\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}\)
\(\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{(-a) \cdot (-b)} = \sqrt[5]{ab}\)
Корень пятой степени существует для всех \(a\) и \(b\).
Ответ: \(a, b \in (-\infty; +\infty)\).

1) Рассмотрим равенство \(\sqrt[4]{ab} = \sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b}\).
По свойствам корней: \(\sqrt[4]{-a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{(-a)(-b)} = \sqrt[4]{ab}\).
Для существования корня четной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Значит:
\(-a \geq 0\) и \(-b \geq 0\), отсюда \(a \leq 0\) и \(b \leq 0\).
Ответ: \(a \in (-\infty; 0]\), \(b \in (-\infty; 0]\).

2) Рассмотрим равенство \(\sqrt[4]{-ab} = \sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b}\).
По свойствам корней: \(\sqrt[4]{a} \cdot \sqrt[4]{-b} = \sqrt[4]{a \cdot (-b)} = \sqrt[4]{-ab}\).
Для существования корня четной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Значит:
\(a \geq 0\) и \(-b \geq 0\), отсюда \(b \leq 0\).
Ответ: \(a \in [0; +\infty)\), \(b \in (-\infty; 0]\).

3) Рассмотрим равенство \(\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{a} \cdot \sqrt[5]{b}\).
Корень нечетной степени определён для всех действительных чисел, поэтому \(a\) и \(b\) могут быть любыми.
Ответ: \(a, b \in (-\infty; +\infty)\).

4) Рассмотрим равенство \(\sqrt[5]{ab} = \sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b}\).
По свойствам корней: \(\sqrt[5]{-a} \cdot \sqrt[5]{-b} = \sqrt[5]{(-a)(-b)} = \sqrt[5]{ab}\).
Корень нечетной степени существует для всех действительных чисел, значит \(a\) и \(b\) могут быть любыми.
Ответ: \(a, b \in (-\infty; +\infty)\).