ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях \(x\) выполняется равенство:

1) \(\sqrt{x^2 — 4} = \sqrt{x — 2} \cdot \sqrt{x + 2}\);

2) \((x — 3)(7 — x) = \sqrt{x — 3} — \sqrt{7 — x}\);

3) \((x — 6)(x — 10) = \sqrt{x — 6} \cdot \sqrt{x — 10}\).

1) \( \sqrt[4]{x^2 — 4} = \sqrt[4]{x — 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2} \)

Выражение имеет смысл, если \( x — 2 \geq 0 \) и \( x + 2 \geq 0 \), значит \( x \geq 2 \).

Ответ: \( x \in [2; +\infty) \).

2) \( \sqrt[8]{(x — 3)(7 — x)} = \sqrt[8]{x — 3} \cdot \sqrt[8]{7 — x} \)

Выражение имеет смысл, если \( x — 3 \geq 0 \) и \( 7 — x \geq 0 \), значит \( 3 \leq x \leq 7 \).

Ответ: \( x \in [3; 7] \).

3) \( \sqrt[3]{(x — 6)(x — 10)} = \sqrt[3]{x — 6} \cdot \sqrt[3]{x — 10} \)

Кубический корень определён для всех \( x \in \mathbb{R} \).

Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).

1) Рассмотрим выражение \( \sqrt[4]{x^2 — 4} = \sqrt[4]{x — 2} \cdot \sqrt[4]{x + 2} \). Для того чтобы корни имели смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательными. Значит, необходимо, чтобы \( x^2 — 4 \geq 0 \), \( x — 2 \geq 0 \) и \( x + 2 \geq 0 \).

Рассмотрим условия по отдельности:
\( x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2) \geq 0 \). Это выражение будет неотрицательно, если либо оба множителя неотрицательны, либо оба не положительны.

Первое условие:
\( x — 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2 \).

Второе условие:
\( x + 2 \geq 0 \Rightarrow x \geq -2 \).

Чтобы произведение было неотрицательно, \( x \) должен быть либо больше или равен 2, либо меньше или равен -2. Но так как в правой части у нас стоит произведение корней, которые определены только при неотрицательных подкоренных выражениях, то \( x — 2 \geq 0 \) и \( x + 2 \geq 0 \) должны выполняться одновременно. Значит, \( x \geq 2 \).

Ответ: \( x \in [2; +\infty) \).

2) Рассмотрим выражение \( \sqrt[8]{(x — 3)(7 — x)} = \sqrt[8]{x — 3} \cdot \sqrt[8]{7 — x} \). Для того чтобы корни имели смысл, подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
\( x — 3 \geq 0 \) и \( 7 — x \geq 0 \).

Из первого условия:
\( x \geq 3 \).

Из второго условия:
\( x \leq 7 \).

Объединяя, получаем \( 3 \leq x \leq 7 \).

Ответ: \( x \in [3; 7] \).

3) Рассмотрим выражение \( \sqrt[3]{(x — 6)(x — 10)} = \sqrt[3]{x — 6} \cdot \sqrt[3]{x — 10} \). Кубический корень определён для всех действительных чисел, поэтому нет ограничений на значения \( x \).

Ответ: \( x \in (-\infty; +\infty) \).