ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Вынесите множитель из-под знака корня:

1) \(\sqrt[4]{32 a^6}\), если \(a < 0\);

2) \(\sqrt{-625 a^5}\);

3) \(\sqrt[6]{a^7 b^7}\), если \(a < 0, b < 0\);

4) \(\sqrt[4]{a^{20} b^{19}}\), если \(a > 0\).

1) \( \sqrt[4]{32 a^{6}} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot a^{4} \cdot a^{2}} = \sqrt[4]{2^{4} \cdot a^{4} \cdot 2 a^{2}} = 2 |a| \sqrt[4]{2 a^{2}} = -2 a \sqrt[4]{2 a^{2}} \)

2) \( \sqrt[4]{-625 a^{5}} = \sqrt[4]{-1 \cdot 5^{4} \cdot a^{4} \cdot a} = 5 |a| \sqrt[4]{-a} = -5 a \sqrt[4]{-a} \)

3) \( \sqrt[6]{a^{7} b^{7}} = \sqrt[6]{a^{6} \cdot a \cdot b^{6} \cdot b} = |a| \cdot |b| \sqrt[6]{a b} = a b \sqrt[6]{a b} \)

4) \( \sqrt[6]{a^{20} b^{19}} = \sqrt[6]{a^{18} \cdot a^{2} \cdot b^{18} \cdot b} = |a^{3}| \cdot |b^{3}| \sqrt[6]{a^{2} b} = a^{3} b^{3} \sqrt[6]{a^{2} b} \)

1) Вынесем из-под корня степени, кратные 4: \( \sqrt[4]{32 a^{6}} = \sqrt[4]{16 \cdot 2 \cdot a^{4} \cdot a^{2}} \). Так как \(16 = 2^{4}\), и \(a^{4}\) — это полная степень для четвертого корня, получаем \( \sqrt[4]{2^{4} \cdot a^{4} \cdot 2 a^{2}} = \sqrt[4]{2^{4}} \cdot \sqrt[4]{a^{4}} \cdot \sqrt[4]{2 a^{2}} = 2 |a| \sqrt[4]{2 a^{2}} \). При условии \(a \leq 0\), \( |a| = -a \), значит \( \sqrt[4]{32 a^{6}} = -2 a \sqrt[4]{2 a^{2}} \).

2) Представим число под корнем как произведение: \( \sqrt[4]{-625 a^{5}} = \sqrt[4]{-1 \cdot 625 \cdot a^{4} \cdot a} \). Число \(625 = 5^{4}\), значит \( \sqrt[4]{-1 \cdot 5^{4} \cdot a^{4} \cdot a} = \sqrt[4]{-1} \cdot \sqrt[4]{5^{4}} \cdot \sqrt[4]{a^{4}} \cdot \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{-1} \cdot 5 |a| \sqrt[4]{a} \). При условии \(a \leq 0\), \( |a| = -a \), а подкоренное выражение неотрицательно, значит \( \sqrt[4]{-625 a^{5}} = -5 a \sqrt[4]{-a} \).

3) Разложим степени: \( \sqrt[6]{a^{7} b^{7}} = \sqrt[6]{a^{6} \cdot a \cdot b^{6} \cdot b} = \sqrt[6]{a^{6} b^{6}} \cdot \sqrt[6]{a b} \). Корни шестой степени от \(a^{6}\) и \(b^{6}\) равны \( |a| \) и \( |b| \) соответственно, значит \( \sqrt[6]{a^{7} b^{7}} = |a| \cdot |b| \cdot \sqrt[6]{a b} \). При \(a < 0\) и \(b < 0\), \( |a| = -a \), \( |b| = -b \), а произведение \(a b > 0\), значит \( |a| \cdot |b| = (-a)(-b) = a b \). Итог: \( \sqrt[6]{a^{7} b^{7}} = a b \sqrt[6]{a b} \).

4) Представим степени под корнем: \( \sqrt[6]{a^{20} b^{19}} = \sqrt[6]{a^{18} \cdot a^{2} \cdot b^{18} \cdot b} = \sqrt[6]{a^{18} b^{18}} \cdot \sqrt[6]{a^{2} b} \). Корень шестой степени от \(a^{18}\) и \(b^{18}\) равен \( |a^{3}| \) и \( |b^{3}| \). При \(a > 0\), \( |a^{3}| = a^{3} \). Предполагается, что \(b \geq 0\), значит \( |b^{3}| = b^{3} \). Итог: \( \sqrt[6]{a^{20} b^{19}} = a^{3} b^{3} \sqrt[6]{a^{2} b} \).