ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите:

1) \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}\);

2) \(3 \cdot 0,054 \cdot \sqrt[3]{4}\);

3) \(\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{128}}\);

4) \(\sqrt[8]{230} \cdot \sqrt[12]{526} \cdot \sqrt[4]{74}\);

5) \(6 \sqrt{3} + 10 \cdot \sqrt[6]{3} — 10\);

6) \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{27} \cdot \sqrt[3]{9}\).

1) \( \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2 \)

2) \( \sqrt[3]{0,054} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{0,054 \cdot 4} = \sqrt[3]{0,216} = \sqrt[3]{\frac{6^3}{10^3}} = \frac{6}{10} = 0,6 \)

3) \( \frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}} = \sqrt[5]{\frac{4}{128}} = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{\frac{1}{2^5}} = \frac{1}{2} = 0,5 \)

4) \( \frac{\sqrt[8]{2^{30} \cdot 7^{12}}}{\sqrt[8]{2^{6} \cdot 7^{4}}} = \sqrt[8]{\frac{2^{30} \cdot 7^{12}}{2^{6} \cdot 7^{4}}} = \sqrt[8]{2^{24} \cdot 7^{8}} = \sqrt[8]{(2^3)^8 \cdot 7^8} = 2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56 \)

5) \( \sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6 \sqrt{3} — 10} = \sqrt[3]{(6 \sqrt{3})^2 — 10^2} = \sqrt[3]{108 — 100} = \sqrt[3]{8} = 2 \)

6) \( \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{-9} = \sqrt[4]{3 \cdot 27} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot (-9)} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[3]{-27} = 3 \cdot (-3) = -9 \)

1) \( \sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8} = \sqrt[4]{2 \cdot 8} \).
Так как под корнем произведение, можно объединить под один корень. \( 2 \cdot 8 = 16 \).
Теперь \( \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} \), так как \(16 = 2^4\).
Корень четвёртой степени из \(2^4\) равен \(2\).

2) \( \sqrt[3]{0,054} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{0,054 \cdot 4} \).
Умножаем числа: \(0,054 \cdot 4 = 0,216\).
\(0,216 = \frac{216}{1000} = \frac{6^3}{10^3}\), значит \( \sqrt[3]{0,216} = \frac{6}{10} = 0,6\).

3) \( \frac{\sqrt[5]{4}}{\sqrt[5]{128}} = \sqrt[5]{\frac{4}{128}} \).
Вычисляем дробь: \( \frac{4}{128} = \frac{1}{32} \).
\(32 = 2^5\), значит \( \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \sqrt[5]{\frac{1}{2^5}} = \frac{1}{2} = 0,5\).

4) \( \frac{\sqrt[8]{2^{30} \cdot 7^{12}}}{\sqrt[8]{2^{6} \cdot 7^{4}}} = \sqrt[8]{\frac{2^{30} \cdot 7^{12}}{2^{6} \cdot 7^{4}}} \).
В степенях вычитаем показатели: \(2^{30 — 6} = 2^{24}\), \(7^{12 — 4} = 7^{8}\).
Получаем \( \sqrt[8]{2^{24} \cdot 7^{8}} = \sqrt[8]{(2^3)^8 \cdot 7^8} \).
Корень восьмой степени из степени 8 даёт основание: \(2^3 \cdot 7 = 8 \cdot 7 = 56\).

5) \( \sqrt[3]{6 \sqrt{3} + 10} \cdot \sqrt[3]{6 \sqrt{3} — 10} = \sqrt[3]{(6 \sqrt{3} + 10)(6 \sqrt{3} — 10)} \).
Воспользуемся формулой разности квадратов: \(a^2 — b^2\).
\( (6 \sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108 \), \(10^2 = 100\).
Тогда под корнем: \(108 — 100 = 8\).
Корень кубический из 8 равен \(2\).

6) \( \sqrt[4]{3} \cdot \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[4]{27} \cdot \sqrt[3]{-9} \).
Сгруппируем корни одинаковой степени: \( \sqrt[4]{3 \cdot 27} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot (-9)} \).
\(3 \cdot 27 = 81\), \(3 \cdot (-9) = -27\).
\( \sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3 \), \( \sqrt[3]{-27} = -3 \).
Перемножаем: \(3 \cdot (-3) = -9\).