ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 22.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения является целым числом:

\( \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{3}} + \frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt[3]{1000^2}} \).

Для любого \(k\) справедливо:

\[
(\sqrt[3]{k})^3 — (\sqrt[3]{k+1})^3 = k — (k+1) = -1,
\]

значит

\[
(\sqrt[3]{k} — \sqrt[3]{k+1})( (\sqrt[3]{k})^2 + \sqrt[3]{k}\sqrt[3]{k+1} + (\sqrt[3]{k+1})^2 ) = -1.
\]

Отсюда

\[
\frac{1}{(\sqrt[3]{k})^2 + \sqrt[3]{k}\sqrt[3]{k+1} + (\sqrt[3]{k+1})^2} = \frac{\sqrt[3]{k+1} — \sqrt[3]{k}}{1}.
\]

Сумма от \(k=1\) до \(999\):

\[
\sum_{k=1}^{999} \frac{1}{(\sqrt[3]{k})^2 + \sqrt[3]{k}\sqrt[3]{k+1} + (\sqrt[3]{k+1})^2} = \sum_{k=1}^{999} (\sqrt[3]{k+1} — \sqrt[3]{k}).
\]

Это телескопическая сумма, равная

\[
\sqrt[3]{1000} — \sqrt[3]{1} = 10 — 1 = 9,
\]

что является целым числом.

1. Рассмотрим выражение \( (\sqrt[3]{k})^3 — (\sqrt[3]{k+1})^3 \). По формуле разности кубов оно равно \( k — (k+1) = -1 \).

2. По формуле разности кубов это выражение можно представить как произведение:

\( (\sqrt[3]{k} — \sqrt[3]{k+1}) \cdot \left( (\sqrt[3]{k})^2 + \sqrt[3]{k} \cdot \sqrt[3]{k+1} + (\sqrt[3]{k+1})^2 \right) = -1 \).

3. Отсюда выразим дробь:

\( \frac{1}{(\sqrt[3]{k})^2 + \sqrt[3]{k} \cdot \sqrt[3]{k+1} + (\sqrt[3]{k+1})^2} = \frac{\sqrt[3]{k+1} — \sqrt[3]{k}}{1} = \sqrt[3]{k+1} — \sqrt[3]{k} \).

4. Рассмотрим сумму от \( k=1 \) до \( 999 \):

\( \sum_{k=1}^{999} \frac{1}{(\sqrt[3]{k})^2 + \sqrt[3]{k} \cdot \sqrt[3]{k+1} + (\sqrt[3]{k+1})^2} = \sum_{k=1}^{999} (\sqrt[3]{k+1} — \sqrt[3]{k}) \).

5. Эта сумма является телескопической, так как большинство слагаемых сокращаются:

\( (\sqrt[3]{2} — \sqrt[3]{1}) + (\sqrt[3]{3} — \sqrt[3]{2}) + \ldots + (\sqrt[3]{1000} — \sqrt[3]{999}) \).

6. После сокращения останется только первое и последнее слагаемые:

\( \sqrt[3]{1000} — \sqrt[3]{1} \).

7. Известно, что \( \sqrt[3]{1000} = 10 \), а \( \sqrt[3]{1} = 1 \).

8. Следовательно, сумма равна:

\( 10 — 1 = 9 \).

9. Таким образом, исходное выражение равно \( 9 \).

10. Число \( 9 \) является целым, что и требовалось доказать.